8、扩展模糊粗糙近似L值空间的范畴研究

扩展模糊粗糙近似L值空间的范畴研究

1. 算子uE和lE的性质

算子uE和lE有一些重要性质，总结如下：
设(X, E)为L值集，(uE, lE)为E的扩展模糊粗糙近似结构，则有：
- uE的性质 ：
- (1u) uE(0X) = 0X，其中0X : X →L是常映射0X(x) = 0L。
- (2u) A ≤uE(A)，对于任意A ∈LX。
- (3u) uE(∨i Ai) = ∨i uE(Ai)，对于任意{Ai | i ∈I} ⊆LX。特别地，(3′u) uE(A1 ∨A2) = uE(A1) ∨u(A2)，对于任意A1, A2 ∈LX。
- (4u) uE(uE(A)) = uE(A)，对于任意A ∈LX。
- lE的性质 ：
- (1l) l(1X) = 1X，其中1X : X →L是常映射1X(x) = 1L。
- (2l) A ≥lE(A)，对于任意A ∈LX。
- (3l) lE(∧i Ai) = ∧i lE(Ai)，对于任意{Ai | i ∈I} ⊆LX。特别地，(3′l) lE(A1 ∧A2) = lE(A1) ∧u(A2)，对于任意A1, A2 ∈LX。
- (4l) lE(lE(A)) = lE(A)，对于任意A ∈LX。

下面给出部分性质的证明：
- 性质(3u)的证明 ：
uE(∨i Ai)(x) = supx′(E(x, x′) ∗(∨iAi(x′))) = supx′(∨iE(x, x′) ∗Ai(x′)) = ∨i(supx′