11、线性变换在图像与视频处理中的应用

线性变换在图像与视频处理中的应用

1. 线性变换基础

线性变换常用于将数据重新排列成特定形式，尤其在图像领域，可分离图像的不同成分，如从干扰或噪声中分离信号。一般而言，线性变换的每个输出值是所有输入像素值的线性组合：
[Q[u, v] = \sum_{x,y} w[u, v, x, y]I[x, y]]
直接实现该公式计算成本高昂。若输入图像为 (N \times N)，每个输出值需 (N^2) 次乘法和加法，对于 (N \times N) 的输出，共有 (N^4) 次运算。

许多有用的变换是可分离的，可分解为对行和列的独立变换，此时公式简化为：
[Q[u, v] = \sum_{y} w[v, y] \left( \sum_{x} w[u, x]I[x, y] \right)]
运算次数降至 (2N^3)。可分离变换能用矩阵形式表示：
[Q = wIw^T]
其中 (w)、(I) 和 (Q) 分别是权重以及二维输入和输出图像的矩阵表示。

若变换矩阵 (w) 的行正交且归一化，变换矩阵为酉矩阵，可将输入图像投影到一组新的坐标轴上。此时，原图像可由一组基图像合成：
[I[x, y] = \sum_{u,v} B_{u,v}[x, y]Q[u, v]]
上述第一个公式有时被称为分析方程，用于分析每个基图像的含量；第二个公式称为合成方程，用于从基图像合成图像。

2. 傅里叶变换

傅里叶变换是图像和信号处理中最常用的线性变换之一，它将输入图像从位置 ((x, y)) 的函数转换为频域中空间频率 ((u, v)) 的函数：
[w[u, v, x, y] =