32、概率可解循环的矩基不变量自动生成与无链字符串约束研究

概率可解循环的矩基不变量自动生成与无链字符串约束研究

1. 概率可解循环的矩基不变量自动生成

1.1 递归关系推导

在去除概率选择后，对于变量更新，可得到关于矩 (M) 的递归关系。设 (E[M(n + 1)]) 为矩 (M) 在 (n + 1) 步的期望值，其表达式为：
[
E[M(n + 1)] = E\left[\sum_{i = 1}^{K}\left(p_i \cdot \frac{a_ix_i + P_i(x_1, \ldots, x_{i - 1})}{\alpha_i}+ (1 - p_i) \cdot \frac{b_ix_i + Q_i(x_1, \ldots, x_{i - 1})}{\alpha_i}\right)(n)\right]
]
进一步推导可得：
[
E[M(n + 1)] = E[M(n)] + \sum_{j = 1}^{J}b_j \cdot E[N_j(n)]
]
其中 (J) 为常数，(b_j) 为常量，(N_1, \ldots, N_J) 为单项式且与 (M) 不同。通过引理 1 可知，存在非齐次 (C) - 有限递归关系 (E[M(n + 1)] = E[M(n)] + \gamma)，其中 (\gamma) 为 (C) - 有限表达式，因此 (E[M(n + 1)]) 的闭式存在且为 (C) - 有限表达式。

1.2 引理证明

引理 1 表明在上述递归关系中，对于所有 (j \leq J)，有 (M > N_j)。证明过程如下：
设 (M = \prod_{k = 1}^{K}x_k^{\alpha_k})，