6、高级变换方法：傅里叶变换的围道积分反演

高级变换方法：傅里叶变换的围道积分反演

1. 引言

在工程学习中，很多学生都接触过傅里叶变换和拉普拉斯变换的概念。不过，由于未学习复变函数，相关讲解较为有限。本文将深入探讨如何利用复变函数的强大功能，克服传统方法在反演傅里叶和拉普拉斯变换时遇到的困难，同时介绍如何运用拉普拉斯变换求解波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。

2. 傅里叶变换反演的围道积分法

通常，我们可以通过直接积分或部分分式法来求傅里叶变换的逆变换，但在很多情况下，这些方法并不适用。此时，若将逆傅里叶变换视为复ω平面上沿实轴的线积分，那么之前学过的一些复变函数技巧就能派上用场。

我们把傅里叶变换的反演积分改写为：
[f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{it\omega}d\omega = \frac{1}{2\pi}\oint_{C}F(z)e^{itz}dz - \frac{1}{2\pi}\int_{C_R}F(z)e^{itz}dz]
其中，(C) 是由整个实轴和新的围道 (C_R) 组成的闭合围道，(C_R) 连接点 ((\infty, 0)) 和 ((-\infty, 0))。(C_R) 有无数种可能，例如当 (R > 0) 时，它可以是从 ((\infty, 0)) 到 ((\infty, R)) 再到 ((-\infty, R)) 最后到 ((-\infty, 0)) 的回路。不过，选择 (C_R) 时必须保证能计算出 (\int_{C_R}F(z)e^{itz}dz)。考虑到这个限制，合适的围道就只剩下几种了，其中最佳选择由约旦引理给出。

2.1 约旦引