1、复变函数基础与应用

复变函数基础与应用

1. 复变函数概述

复变函数理论最初由数学家开发，用于辅助理解函数。复变函数具有许多实变函数所没有的强大性质。对于我们而言，复变函数为完全掌握变换方法和微分方程提供了关键。在相关学习中，我们的主要目标是通过留数法在复平面上进行积分。因此，我们会减少对极限和连续性的讨论，而更侧重于计算方面。

2. 复数的基本概念

2.1 复数的定义与表示

复数是形如 (a + bi) 的数，其中 (a) 和 (b) 是实数，(i = \sqrt{-1})。我们用复变量 (z = x + iy) 表示复数集合中的任意成员。(z) 的实部通常用 (\Re(z)) 表示，即 (x)；虚部用 (\Im(z)) 表示，即 (y)。复数 (a + bi) 的复共轭是 (a - bi)，可表示为 (z) 或 (z^*)。

2.2 复数的代数运算

复数遵循代数的基本规则。两个复数 (a + bi) 和 (c + di) 相等，当且仅当 (a = c) 且 (b = d)。复数的基本运算定义如下：
- 加法 ：((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)
- 减法 ：((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i)
- 乘法 ：((a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + i^2bd = (ac - bd) + (ad + bc)i)
- 除法