41、群体与随机计算在全局优化中的应用

群体与随机计算在全局优化中的应用

1. 引言

优化在众多领域都具有至关重要的地位，从工程设计、商业规划，到车辆路径规划以及深度学习等。其目标通常是最大化效率、准确性、性能、利润和可持续性，同时最小化成本、浪费、能源消耗、旅行时间或距离以及环境影响等。然而，在很多情况下，我们可能无法明确或精确地定义优化目标，但仍希望对其进行优化。

目前，我们能够高效解决的优化问题主要有三类：
- 线性规划 ：涉及具有线性目标和线性约束的优化问题，存在如单纯形法等高效方法。
- 凸优化 ：是一类具有凸目标和凸域的特殊优化问题，其最优解是全局且唯一的，并有高效算法。
- 可转化问题 ：可以通过变换和/或重新表述问题，将其转化为线性或凸优化问题。例如，最小二乘法本质上是将非线性曲线拟合问题转化为凸优化问题，从而可以使用高斯 - 牛顿法等高效算法。

除了这三类问题，大多数问题都是非线性的，难以求解。尽管存在一些近似方法，如二次规划、顺序二次规划、信赖域方法和内点法等，但无法保证能达到全局最优。近年来，进化算法、随机启发式算法和自然启发算法逐渐成为处理高度非线性问题的趋势。

2. 优化问题的数学表述

几乎所有优化问题都可以表述为 $m$ 个目标函数 $f(x) = [f_1(x), f_2(x), …, f_m(x)]$，并受到 $M$ 个等式约束 $h_i(x) = 0$（$i = 1, 2, …, M$）和 $N$ 个不等式约束 $g_j(x) ≤ 0$（$j = 1, 2, …, N$）的限制，其中 $x$ 是 $D