高中OJ3033【NOIP2012模拟10.17】石子游戏

这是一道坑比的博弈题。。。

尽管这道题实现起来很简单，但是思考的过程很有意义。

先从K=1的情况入手：

因为对方每次拿的数量都不能超过你上次拿的数量，所以可以得出必败结果都是2^i

思考：

可以把N转成二进制，例如N=25

则N(2)=11001

那么我们每次拿掉最末尾的一个1，则对方不能拿更高层的1。

拿完后N=24 (11000)

这样我们每一次都拿走最末尾的1，对方就只能拿0。

对方拿完后N=23 (10111)

而对方每次拿完0后又会产生新的1，一直到最后一个1被我们拿走。

必败情况就是2^i，例如：

N=32 (100000)

因为不能一次性拿完，那么我们只能拿走0，对方就可以每次拿走末尾的1。

K=2的情况：

必败结果为斐波那契数列。

思考：

因为斐波那契数列有一个性质：把任意一个数N分解成数列中的数相加，分解出的数两两都至少相差2倍以上（注意是以上）

所以我们只要把N分解成斐波那契数列，之后像K=1的情况一样计算。

其实K=1和K=2的情况的性质都是一样的。

因为K=1时分解的数列为2^i，即1 2 4 8 16 32 64……

K=2时斐波那契数列为1 2 3 5 8 13 21 34 55……

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑没看懂上两种情况请重新再看直到看懂为止↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑如果只想水30分的话就可以到此为止了↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑

K>2的情况：

根据上面的两种情况，我们可以发现：

当K不同时，只是分解出的数列不同，计算其实是一样的。

那么我们只要计算出一个序列，用这个序列的数相加来表示N，并且每两个数都要相差K倍以上。

思考：

假设K=3，N=35。

先计算N=1

因为序列为空，所以第一项是1。

N=2

因为序列中只有1，所以第二项是2。

如此类推，第三项是3。

N=4

尽管1+3=4，但是因为1*3≥3，所以无法构成合法的序列，第四项为4。

如此类推，该序列为1 2 3 4 6 8 11 15……

而1+4+15=20，所以下一项是21。

补充：如果当前序列最大能构成N，即能构成1~N中任意一个数。

又如此类推，该序列为1 2 3 4 6 8 11 15 21 29 40……

最后一项已经比N大了，可以不用继续往下算了。

因为40≠35，所以可以获胜。

之后把N一直往下减，减到N=当前项。

答案就是当前位置对应的数，即7。

但是考虑到时间的问题，如果该序列有多项就要一个一个去减，时间就可能会爆。

设当前K计算出的序列为A，则用B[i]表示从1~i序列中能构成的最大数。

显然A[i]=B[i-1]+1，A[1]=1且B[1]=1。

之后计算B[i]，找到一个最大的j，且A[j]*k<A[i]

因为当前的B[i]等于最大且和当前项的倍数不超过K的数所能构成的最大数，再加上当前数，

所以B[i]=B[j]+A[i]。

最后补充：

假设当前所构成的序列为A，把A再加上一个数所能构成的最大数肯定比原来的序列A构成的数大，

所以枚举J这一步是线性的。

这道题想了我挺久的，把题解反复看了之后才想出来的。

总之，解决此类问题有3步：

①从最简单的方案入手研究。

②把范围扩大，推出公式。

③实现程序并优化。