线性方程组（七）- 线性无关

小结

1. 向量组的线性无关
2. 矩阵各列的线性无关
3. 一个或两个向量的集合的线性无关
4. 两个或多个向量的集合的线性无关

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向量组的线性无关

${\mathbb{R}}^n$中一组向量{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}称为线性无关的，若向量方程仅有平凡解。向量组（集）{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}称为线性相关的，若存在不全为零的权$c_1,\cdots ,c_p$，使$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$方程成立。方程$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$称为向量${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的一个线性相关关系，其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。为简单起见，我们也可说${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$线性相关，意思是向量组（集）{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}是线性相关组。

设${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]，{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]，{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$。确定向量组{${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$}是否线性相关的。若线性相关，求出${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$的一个线性相关关系。
解：行化简相应的增广矩阵：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 2& 0\\ 2& 5& 1& 0\\ 3& 6& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 2& 0\\ 0& -3& -3& 0\\ 0& -6& -6& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 2& 0\\ 0& -3& -3& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
显然，$x_1$和$x_2$为基本变量，$x_3$为自由变量。$x_3$的每一个非零值确定一组非平凡解。因此，向量组{
${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$}是线性相关的。
继续行化简增广矩阵并写出对应方程组的通解 ：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_3\\ x_2=-x_3\\ 0为自由变量\end{array}$
选择$x_3$的一个非零值，比如$x_3=5$，则$x_1=10$，$x_2=-5$。
$10{\mathbf{v}}_1-5{\mathbf{v}}_2+5{\mathbf{v}}_3=0$就是${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$的一个线性相关关系。

矩阵各列的线性无关

设我们不考虑向量组而是考虑矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$，矩阵方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$可以写成$x_1{\mathbf{a}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=0$。
$\mathbf{A}$的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的一个非平凡解。矩阵$\mathbf{A}$的各列线性无关，当且仅当方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$仅有平凡解。

确定矩阵$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ 1& 2& -1\\ 5& 8& 0\end{array}\right]$的各列是否线性无关。
解：为研究$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，把增广矩阵进行行化简：
$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 4& 0\\ 1& 2& -1& 0\\ 5& 8& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& 1& 4& 0\\ 0& 2& -5& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 0& 1& 4& 0\\ 0& 0& 13& 0\end{array}\right]$
显然，$x_1$，$x_2$和$x_3$为基本变量，无自由变量。因此方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$仅有平凡解。$\mathbf{A}$的各列是线性无关的。

一个或两个向量的集合的线性无关

仅含一个向量（比如说$\mathbf{v}$）的集合线性无关当且仅当$\mathbf{v}$不是零向量。这是因为当$\mathbf{v}̸=0$时向量方程$x_1\mathbf{v}=0$仅有平凡解。零向量时线性相关的，因为$x_{1}0=0$有许多非平凡解。

确定下列向量组是否线性无关。

1. ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$，${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right]$
2. ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$，${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right]$

解：

1. 注意${\mathbf{v}}_2$是${\mathbf{v}}_1$的倍数，即${\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{v}}_1$。因此$-2{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2=0$，这表明{${\mathbf{v}}_1，{\mathbf{v}}_2$}线性相关。
2. 设$c$和$d$满足$c{\mathbf{v}}_1+d{\mathbf{v}}_2=0$。若$c̸=0$，则可用${\mathbf{v}}_2$表示${\mathbf{v}}_1$，即${\mathbf{v}}_1=(-\frac{d}{c}){\mathbf{v}}_2$。这是不可能的，因为${\mathbf{v}}_1$不是${\mathbf{v}}_2$的倍数。故$c$必是零。类似地$d$也必是零。这表明{${\mathbf{v}}_1，{\mathbf{v}}_2$}是线性无关组。

两个向量的集合{${\mathbf{v}}_1，{\mathbf{v}}_2$}线性相关，当且仅当其中一个向量是两一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中任一个向量不是另一个向量的倍数。

从几何意义上看，两个线性相关，当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。

两个或更多个向量的集合的线性无关

定理 两个或更多个向量的集合$\mathbf{S}=${${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_2$}线性相关，当且仅当$\mathbf{S}$中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上，若$\mathbf{S}$线性相关，且${\mathbf{v}}_1̸=0$，则某个${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}(j>1)$是它前面向量${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}-1}$的线性组合。

必要性：若$\mathbf{S}$中某个${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$是其他向量的线性组合，那么把方程两边剪去${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$就产生一个线性相关关系，其中${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$的权为（-1）。
如，若${\mathbf{v}}_1=c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3$，那么$0=-1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+c_3{\mathbf{v}}_3+0{\mathbf{v}}_4+\cdots +0{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$。

充要性：设$\mathbf{S}$线性相关。
若${\mathbf{v}}_1=0$，则它是$\mathbf{S}$中其他向量的一个线性组合。即$0=c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$。
若${\mathbf{v}}_1̸=0$，存在$c_1,\cdots ,c_p$不全为0，使得$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$。
设$j$是使$c_j̸=0$的最大下标。若$j=1$，则$c_1{\mathbf{v}}_1=0$。这是不可能的，因为${\mathbf{v}}_1̸=0$。故j > 1。即$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_j{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}+0{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}+1}+\cdots +0{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$，可得$c_j{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}=-c_1{\mathbf{v}}_1-\cdots -c_{j-1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}-1}$

定理 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，${\mathbb{R}}^n$中任意向量组{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}当$p>n$线性相关。
因为未知量比方程多，必定有自由变量。

定理 若${\mathbb{R}}^n$中向量组$\mathbf{S}=${${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}包含零向量，则它线性相关。
把这些向量重新编号，我们可设${\mathbf{v}}_1=0$，于是方程$1{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+\cdots +0{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$。