常用变换矩阵总结

最新推荐文章于 2025-10-10 19:48:18 发布

原创

最新推荐文章于 2025-10-10 19:48:18 发布 · 3.9k 阅读

5 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#矩阵 #透视投影 #正交投影 #旋转 #镜像

本文主要总结了3D图形学中常见的变换矩阵，包括平移、缩放、旋转、UVN相机变换、透视投影、正交投影、视口变换、镜面成像和平面阴影等，通过具体推导加深理解。

前言

在软渲中需要各种变换的应用，这里列出了几种常见的变换矩阵。虽然并不一定要知道每一步的推导过程，但看一下推导过程对于这些变换可以有更好的理解和记忆。

变换矩阵

1. 平移变换具体推导

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 100 d x 010 d y 001 d z 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ dx&dy&dz&1\\ \end{bmatrix}$

2. 缩放具体推导

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ S x 000 0 S y 00 00 S z 0 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & S_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & S_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

3. 绕任意轴旋转矩阵具体推导

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 2 + (1 - a 2) c o s θ a b (1 - c o s θ) - c s i n θ a c (1 - c o s θ) + b s i n θ 0 a b (1 - c o s θ) + c s i n θ b 2 + (1 - b 2) c o s θ b c (1 - c o s θ) - a s i n θ 0

最低0.47元/天解锁文章

确定要放弃本次机会？

福利倒计时

: :

立减 ¥

普通VIP年卡可用

立即使用

派大星PatrickStar

关注关注

0
点赞
踩
5

收藏

觉得还不错? 一键收藏
0
评论
分享

复制链接

分享到 QQ

分享到新浪微博

扫一扫
举报

举报

专栏目录

矩阵理论与应用：矩阵与线性变换

AI天才研究院

06-26

956

矩阵理论与应用：矩阵与线性变换 1.背景介绍矩阵理论是线性代数的核心部分，广泛应用于计算机科学、物理学、工程学等多个领域。矩阵不仅是数学中的重要工具，还在数据分析、机器学习、图像处理等实际应用中扮演着关键角色。本文将深入探讨矩阵与线性变换的理论基础、核心算法、数学模型及其在实际项目中的应用。

图形学games101课程回顾--变换矩阵和MVP变换

qq_41658981的博客

06-10

557

详细讲解了图形学中的各类变换及MVP变换

参与评论您还未登录，请先登录后发表或查看评论

闫令琪图形学入门笔记（矩阵变换篇）

卢平光的博客

07-18

2549

1、矩阵基础矩阵乘法某一三维坐标点用1X3的矩阵表示，通过特定的3X3矩阵与之相乘，可以实现坐标变换（对坐标点的旋转、缩放）。矩阵变化的深度理解点积与叉积点积：根据定义可以反求出两向量的夹角，再根据夹角推出相似度什么的叉积：可以用来求法线，法线作为一个平面的垂直线，对于光照的反射计算十分更要；另外也可以用在路径交叉判断上面，具体参考：点积与叉积在图形学的含义 ...

各种变换矩阵

aijincao8157的博客

07-27

551

绕Z轴旋转绕Y轴旋转的旋转变换矩阵（y不变）绕X轴旋转的旋转变换矩阵（x不变）：平移矩阵缩放矩阵转载于:https://www.cnblogs.com/AndyZhengLL/p/9378168.html...

矩阵乘法一点通

最新发布

2303_82069335的博客

10-10

986

本文介绍了NumPy中实现矩阵乘法的四种方法及其应用场景。主要内容包括：1）四种乘法运算：*运算符（区分数组和矩阵）、@运算符（标准矩阵乘）、np.matmul()函数（支持高维数组）和dot()方法（传统内积工具）；2）验证了四种方法结果的一致性；3）展示了矩阵乘法在图形旋转、线性回归和方程组求解中的实际应用；4）比较了编程实现与线性代数定义的异同，并解释了高维数组的广播规则。通过具体代码示例，帮助读者掌握不同场景下的矩阵乘法实现技巧。

详解矩阵变换：伸缩，旋转，反射和投影

forest_LL的博客

01-13

6754

透视变换的转换矩阵也与仿射变换的矩阵不同，是一个 3×3 的矩阵。输入点为(x,y)，经过矩阵变换后为(x,0），该点也是在x轴上且距离输入点最近的点。以上变换中的cx+dy中的x和y可以使多项式，可以是矩阵，还可以是函数x(t)和y(t)，只要满足如上关系都可以看成线性变换。如果给出的矩阵A是m行n列的，那么就可以从n维向量变换到m维向量，换句话说长方形的矩阵（非方阵）也满足如上线性变换。如果输入分别为x和y，对应的输出为x'和y'，那么当输入为求和x+y时，输出也肯定为x'+y'。

矩阵的空间变换

ytlcainiao的专栏

04-14

1322

本文出自大苞米的博客（http://blog.youkuaiyun.com/a396901990），谢谢支持！几何图形的矩阵表示：我们把每个顶点坐标看成一个行向量，采用齐次坐标法，即每个顶点坐标增加一个相同的分量1作为矩阵的一行，这样就可以用矩阵表示图形了。如：点A(1,-1)，增加一个分量1，将其作为一个矩阵的行向量A=[1−11]; 以此类推，所以这个图形可

几种矩阵变换

weixin_30340819的博客

09-27

245

正交变换：向量范数不变，角度不变（内积不变） Householder变换：已知向量V、X，得到X关于V的垂直向量的对称向量。P=I-2VVt/VtV 对称向量为PX。用于引进0元素而保持范数不变。 Givens变换，有选择的引进0元素。http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%90%89%E6%96%87%E6%96%AF%E6%97%8B%E8%BD%AC 初等...

机械臂笔记——变换矩阵

Tony Wey的博客

07-29

2491

Mapping：描述了变换矩阵如何将原始坐标映射到新的坐标，强调的是输入和输出之间的对应关系。Operator：描述了变换矩阵作为一个算子的作用，强调的是对向量进行的操作及其线性特性。变换矩阵。

十一、使用矩阵进行顶点变换1

08-04

如果一个点P需要经过A、B、C三个连续的变换，可以直接计算最终变换矩阵M=A×B×C，然后进行单次矩阵乘法P' = P×M，而不是对每个顶点进行三次乘法。这种方式提高了计算效率，同时也允许我们顺序地组合各种变换，如先...

矩阵变换总结

weixin_38317224的博客

09-17

345

1.为什么引入齐次坐标的变换矩阵可以表示平移呢？ https://www.zhihu.com/question/26655998 2.齐次坐标的理解 https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html 3.2D平移矩阵与3D平移矩阵 https://blog.youkuaiyun.com/wodownload2/article/de...

矩阵变换.cpp

06-03

矩阵的各种变化，很适合初学者二次使用。想了很久才打出来的，希望各位采纳

矩阵的基本变换

qq_44717657的博客

03-21

3342

Java实现矩阵的基本移动转置矩阵 AES算法中的S_box简单实现

什么是矩阵变换？

牛牛码特的博客

07-01

455

矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式。

什么是矩阵变换?

...

06-12

1912

矩阵加法和减法：这是最基本的线性运算，直接对应元素相加或相减。例子给定矩阵Aabcd和Befgh，则ABaebfcgdh给定矩阵 A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} 和 B=\begin{pmatrix}e & f\\g & h\end{pmatrix}，则 A+B=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\c+g & d+h\end{pmatrix}给定矩阵Aacbd和Be。

计算机图形学一：变换矩阵-Transformation Matrices

西电卢本伟的博客

06-16

1万+

计算机图形学、变换矩阵

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换

海到无边天作岸山登绝顶我为峰

09-18

4211

文章目录前言3.1 矩阵的初等变换定义等价具有的性质矩阵类型性质性质1性质2定理1推论补充结语前言 Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！机器学习小白阶段文章仅

浅谈矩阵变换——Matrix

热门推荐

走向远方

09-05

4万+

矩阵变换在图形学上经常用到。基本的常用矩阵变换操作包括平移、缩放、旋转、斜切。每种变换都对应一个变换矩阵，通过矩阵乘法，可以把多个变换矩阵相乘得到复合变换矩阵。矩阵乘法不支持交换律，因此不同的变换顺序得到的变换矩阵也是不相同的。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边(右乘)的矩阵，越先运算(先乘)，反之亦然

矩阵与线性变换

unclerunning的博客

04-28

4万+

矩阵与线性变换矩阵与线性变换矩阵变换线性变换意义向量旋转变换拓展总结 references矩阵变换 Thank about a matrix multiplication as a transformation of space. 对 RnR^n中的每个向量xx，T(x)T(x)由AxAx计算得到，其中AA是m×nm\times n 矩阵，将这样一个矩阵变换记为x→Axx\right

如何输出CPD变换矩阵

03-13

<think>好的，我现在需要帮助用户解决如何在编程中输出CPD变换矩阵的问题。首先，我需要明确用户提到的CPD具体指的是什么。根据用户提供的引用内容，尤其是引用[1]中的正态分布算法（NDT）和点云配准的内容，用户可能是在处理点云配准中的变换矩阵输出。此外，CPD可能指Coherent Point Drift（相干点漂移）算法，这是一种常用的点云配准方法。首先，我需要确认CPD的含义。在点云配准领域，CPD通常指Coherent Point Drift算法，它通过概率方法将源点云与目标点云对齐，输出变换矩阵（包括旋转、平移和缩放参数）。用户可能混淆了累积概率分布和配准点云数据，但根据上下文，更可能是指相干点漂移算法。接下来，用户需要具体的实现方法和代码示例。我需要回忆CPD算法的基本原理和步骤。CPD使用高斯混合模型（GMM）表示目标点云，通过最大化似然函数来优化变换参数，包括刚性（旋转+平移）或非刚性变换。变换矩阵通常由旋转矩阵R、平移向量t和缩放参数s组成。然后，我需要考虑如何将数学公式转化为代码。用户可能需要Python示例，因为引用的示例中有Python代码。首先，需要安装相关的库，如numpy、matplotlib，以及专门的cpd库。例如，pycpd是一个Python实现的CPD算法库，可以用于点云配准。我需要验证是否存在这样的库，并检查其使用方法。假设用户使用pycpd，那么代码示例可能包括加载点云数据、初始化变换模型、执行配准，并输出变换矩阵。对于刚性配准，变换矩阵包括R和t，可能还有s（如果是相似变换）。另外，用户提到的引用[2]中提到了使用随机生成的旋转矩阵对点云进行变换，这可能与测试配准算法有关。因此，在代码示例中，可能需要生成测试数据，应用变换，然后使用CPD恢复变换参数。需要注意代码的正确性，比如如何访问配准后的变换参数。例如，在pycpd中，刚性配准后的结果对象可能包含rotation、translation等属性。需要确保这些属性确实存在，并正确输出。此外，用户可能需要了解如何将变换矩阵应用到新的点云上，这部分也需要在代码中展示。例如，使用R和t来变换源点云，然后可视化结果。最后，用户可能需要相关的扩展问题，比如如何评估配准精度、处理噪声或异常点，以及加速算法的方法。这些可以作为相关问题列出，帮助用户进一步探索。总结步骤： 1. 确定CPD指Coherent Point Drift算法。 2. 解释CPD的基本原理和变换矩阵的构成。 3. 提供Python代码示例，包括安装库、数据准备、配准执行和变换矩阵输出。 4. 包含应用变换矩阵和可视化结果的代码。 5. 列出相关问题，如优化方法、应用场景等。需要检查引用内容是否有相关支持，比如引用[1]提到NDT算法，但用户的问题是关于CPD，所以可能需要调整引用部分，或指出其他配准方法的区别。但根据用户提供的引用，可能没有直接关于CPD的内容，所以需要主要依赖外部知识，同时尽量关联已有的引用信息。</think>### CPD变换矩阵输出方法在点云配准中，**相干点漂移（Coherent Point Drift, CPD）** 是一种基于概率的非刚性/刚性配准算法。其核心是通过最大化似然函数优化变换参数（旋转矩阵$R$、平移向量$t$，缩放因子$s$）。以下是实现步骤和代码示例： --- #### **1. CPD变换矩阵的数学形式** 对于刚性配准，变换公式为： $$ T(X) = s \cdot R \cdot X + t $$ 其中： - $R$：$d \times d$旋转矩阵（$d$为点云维度） - $t$：平移向量 - $s$：缩放因子（非刚性配准时可能为1） --- #### **2. Python代码实现（以`pycpd`库为例）** ##### **环境准备** ```bash pip install numpy matplotlib pycpd ``` ##### **代码示例** ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from cpd import RigidRegistration # 生成测试数据（源点云X，目标点云Y） X = np.random.rand(100, 2) # 源点云 theta = np.pi / 6 R_true = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)], # 真实旋转矩阵 [np.sin(theta), np.cos(theta)]]) t_true = np.array([0.5, -0.3]) # 真实平移向量 Y = np.dot(X, R_true.T) + t_true # 目标点云 # 执行CPD刚性配准 reg = RigidRegistration(**{'X': Y, 'Y': X}) # 将X配准到Y reg.register() T = reg.transform_point_cloud(X) # 应用变换后的点云 # 输出变换参数 print("旋转矩阵 R:\n", reg.R) print("平移向量 t:", reg.t) print("缩放因子 s:", reg.s) # 可视化结果 plt.scatter(Y[:,0], Y[:,1], c='blue', label='目标点云Y') plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c='red', label='源点云X') plt.scatter(T[:,0], T[:,1], c='green', marker='x', label='配准后X') plt.legend() plt.show() ``` --- #### **3. 核心参数说明** - `RigidRegistration`：刚性配准模型（非刚性使用`DeformableRegistration`） - `reg.R`：优化后的旋转矩阵（可通过`reg.s`调整缩放） - `reg.t`：优化后的平移向量 - `transform_point_cloud`：将变换直接应用到新点云 --- #### **4. 扩展应用** - **非刚性配准**：使用高斯核函数描述形变场，参数包括权重$\beta$和正则化参数$\lambda$[^1]。 - **多尺度优化**：通过调整迭代次数和容忍度提升精度。 ---

常用变换矩阵总结

前言

变换矩阵

1. 平移变换 具体推导

2. 缩放 具体推导

3. 绕任意轴旋转矩阵 具体推导

1. 平移变换具体推导

2. 缩放具体推导

3. 绕任意轴旋转矩阵具体推导