8、曲面几何：概念、定理与不变量解析

曲面几何：概念、定理与不变量解析

1. 曲面的基本概念

1.1 曲面的定义

曲线可看作是从实数区间到三维空间的连续函数的图像，类似地，曲面（至少局部）是从二维实数域到三维空间的连续函数的图像。我们将对空间中的曲面进行研究，目标与研究曲线时一致：
- 为曲面关联几何不变量；
- 运用微积分解析描述和计算这些不变量；
- 证明这些不变量包含足够信息来刻画几何对象。

我们主要研究的不变量包括法向量、切平面和各种曲率形式。法向量和切平面可类比曲线的弗雷内标架，曲面的曲率则类比曲线的曲率和挠率。由于曲面是二维的，而曲线是一维的，因此需要编码更多信息，这也导致解析公式更加复杂。

1.2 规则性与参数化

一个曲面 Σ 是连续函数 σ : D → R³ 的图像，其中 D 是二维实数域中的矩形或圆盘，函数 σ 称为曲面的参数化。若 u 和 v 是 D 上的坐标，通过 σ 可将它们视为 Σ 上的参数或广义坐标。

对于函数 σ，我们需要附加条件。若其偏导数 σu 和 σv 在某点连续、非零且不共线，则称 σ 在该点是规则的，否则该点为奇点。在规则点 (u₀, v₀) 处，u 和 v 的等值线在曲面上形成交叉网格。由于这些曲线的切向量 σv 和 σu 不共线，它们在任何规则点都能张成一个确定的切平面，向量 N = σu × σv 垂直于该切平面，进而垂直于曲面本身。

1.3 曲面片

若 σ 是规则的、一对一的且具有连续的反函数（可能在某些例外点除外），则称 σ 是一个曲面片。当没有例外点时，称 σ 是光滑曲面片。在光滑曲面上，法向量 N 是一个非零连续函数，因此曲