18、流体力学中的流建模：从欧拉方程到非饱和多孔介质流

流体力学中的流建模：从欧拉方程到非饱和多孔介质流

1. 欧拉方程与伯努利定理

在某些情况下，摩擦可以忽略不计。对于无摩擦的理想流体（即粘度为零的流体），欧拉方程用现代符号表示为：
[
\rho \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{v} + \rho (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} - \rho \mathbf{f} + \nabla p = 0
]
该方程由欧拉在1750年发表。

利用势理论来研究流体力学是经典方法，由伯努利家族和欧拉发展而来。欧拉在柏林和圣彼得堡的工作不仅标志着经典流体力学的完成，也开创了用微分方程及其解来描述实验室或实地自然现象的方法。

一般的纳维 - 斯托克斯方程解析解很少，通常需要使用特殊软件包，利用有限差分、有限元或有限体积等数值方法求解。书中第一部分已介绍了使用 pdepe 命令的数值方法，但它仅适用于一维问题。对于高维问题，需应用MATLAB的偏微分工具箱。

势流是一种获取解析解的技术统称。解析解是未知变量的显式公式，有时也称为封闭形式解。如果流场是无旋的，即满足条件：
[
\nabla \times \mathbf{v} = 0
]
在某一时刻满足该条件后，此性质将一直成立。可以证明，在该条件下存在一个势函数 $\phi$，具有性质：
[
\mathbf{v} = \nabla \phi
]
并且它满足伯努利定理：
[
\rho \frac{\partial \phi}{\partia