10、结合静态分析与模型检查：用于采用交换函数的系统

结合静态分析与模型检查：用于采用交换函数的系统

1. 引言

模型检查方法在并发和分布式系统验证中的广泛应用存在两大障碍：状态爆炸问题以及处理无限状态系统的局限性。过去，我们研究了一类由特定类型的转换图（TD）表示的无限状态系统，即简单TD，它们使用交换函数来更新变量，并提出了基于双模拟约简的模型检查方法。

本文在此基础上，将这些方法与静态分析相结合，以定义更大的双模拟关系，从而使这些方法能够应用于更广泛的系统。

我们假设并发程序由TD表示，TD是一种带边标记的有向图，边标记包含条件（称为守卫）和对变量的并发赋值操作。简单TD要求赋给变量x的表达式为常量、变量或f(x)（f为一元函数），且所用函数需相互交换，即对于任意两个函数f和g，有fg = gf。需要注意的是，这种TD的计算能力与图灵机相当。

以往，我们为简单TD定义了一系列非递减的双模拟关系∼k（k ≥ 0），这些关系定义在TD的符号状态图上，部分技术已应用于一些实际协议。本文将这些方法与静态分析技术相结合，使得能够对更广泛的程序（即TD）进行模型检查。通过预先分析TD，可以缩小通用量词的取值范围，从而使更多状态被视为等价。

我们还给出了上述结果的一些应用。对于整数域上的简单TD，其变量更新函数为常量递增或递减，我们可以直接在其标准可达性图上定义双模拟关系，并且对于许多整数TD，该方法可用于获得有限商结构。此外，我们还展示了如何放宽简单TD的交换性要求。

2. 背景与符号表示

2.1 转换图

TD是一个三元组G = (Q, X, E)，其中：
- Q：节点集合。
- X：变量集合。
- E