50、选举操纵的非转移效用合作博弈论视角

选举操纵的非转移效用合作博弈论视角

在选举领域，核心概念的计算分析对于理解选举的稳定性和可行性至关重要。本文将深入探讨α - 核和β - 核相关问题，并介绍针对不同投票规则的多项式时间算法。

核心问题与联盟操纵问题的关联

在选举中，确定候选人是否在α - 核或β - 核中与联盟操纵问题存在紧密联系。具体来说，给定选举 $E = (C, V, P)$，集合 $M ⊆ V$，投票规则 $R$ 以及候选人 $c ∈ C$，判断 $c$ 是否在α - 核或β - 核中的问题至少与相应的联盟操纵问题一样困难。

以下是详细的证明思路：
1. 从联盟操纵问题进行归约。给定投票规则 $R$ 和 $R$ - 联盟操纵问题的实例 $I = (E, S, c)$（其中 $E = (C, V, P)$），构建核心问题如下：
- 设 $E′ = (C, V ′, P′)$，其中 $V ′ = V ∪ S$，$P′ = P ∪ P′_S$，$P′_S$ 是 $S$ 中选民的偏好概况，且在所有选票中 $c$ 排在第一位，其余候选人任意排序。
- 令 $M = S$。当且仅当在联盟操纵问题中 $S$ 中的选民存在使 $c$ 获胜的操纵时，$c$ 才在核心问题（由实例 $(E′, M, c)$ 定义）的核心（α 或β）中。因为在此情况下，$c$ 在核心中当且仅当 $c$ 对联盟 $M$ 是可行的（不存在非空联盟 $W ′$，其中 $W ′$ 中的选民更偏好 $c′$ 而非 $c$）。

然而，α - 核或β - 核问题是否严格比联盟操纵问题更难呢？对于许多投票规则，答案是否定的。因此，我们聚焦于那些联盟操纵问题可在多项式时间内解决的投票规则。