等价矩阵、秩为1的矩阵的n次方计算

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gitenli
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Monarch矩阵：计算高效的稀疏型矩阵分解
Paper weekly
07-28 718
©PaperWeekly 原创 ·作者 |苏剑林单位 |科学空间研究方向 |NLP、神经网络在矩阵压缩这个问题上，我们通常有两个策略可以选择，分别是低秩化和稀疏化。低秩化通过寻找矩阵的低秩近似来减少矩阵尺寸，而稀疏化则是通过减少矩阵中的非零元素来降低矩阵的复杂性。如果说 SVD 是奔着矩阵的低秩近似去的，那么相应地寻找矩阵稀疏近似的算法又是什么呢？接下来我们要学习的是论文《Monarch:...
矩阵分析 学习笔记3 多项式矩阵 jordan标准型
LI_XIAO_XING的博客
09-11 1851
多项式矩阵的秩和带一个类目大进去变成普通矩阵的秩不是一回事哦，毕竟类目大可以取到一个特定的值使行列式的值为0，刚好凑到0，秩就变小了。假如这个多项式矩阵是可逆的，那么它的行列式肯定是一个固定的值，还不能是0！就是说这个矩阵里面的各个元素都是多项式，多项式的主角是类目大（自变量）。0多项式就是完全0的那种，就一个0，类目大都没有了。单位模阵就是可逆多项式矩阵。多项式矩阵的秩是啥呢？
秩为1的矩阵的幂规律
Bing's Blog
10-13 3万+
首先看规律：矩阵A的任何两行或者两列都成比例，可以提出比例系数，则矩阵A可以分解为两个矩阵的乘积。更一般情况是：若r(A) = 1,则A可以分解为两个矩阵的乘积。规律知道以后，具体的乘积因子该如何确定呢？看例题：A=⎡⎣⎢⎢26−413−2−1−32⎤⎦⎥⎥ A = {\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ -4 & -2
秩1矩阵
01-14 8259
所有的秩1矩阵（Rank 1 matrix）都可转化为： Am×n=um×1vTn×1 A_{m\times n}=u_{m\times 1}v_{n\times 1}^T 一个列向量乘以一个行向量。秩1矩阵与线性空间理论如何描述一个空间——基与维数；比如如下的一个线性子空间，∀v∈R4,v1+v2+v3+v4=0\forall\, v \in \mathbb R^4,\;v_1+v_2+v_
秩一矩阵
lennon_w的博客
12-01 8467
我们可以把一个矩阵看做一个向量 比如所有3×3的矩阵组成一个向量空间 那这个向量空间的维度dimM=9
秩为1的矩阵的特征和性质
最新发布
Smilecoc的博客
07-28 3212
秩为1的矩阵具有若干重要性质：可以表示为列向量与行向量的乘积A=αβ^T；迹等于这两个向量的内积tr(A)=β^Tα；其n个特征值包含1个tr(A)和n-1个0；特征向量具有特定形式。当tr(A)≠0时矩阵可对角化，否则不可对角化。这些性质在考研和实际应用中尤为重要，特别适用于简化高阶矩阵运算。
秩为1的矩阵的性质
wcqgmztmn的博客
11-09 614
第8章 特征矩阵(矩阵相似、最小多项式、特征矩阵相似、不变因子、初等因子和若当标准型)
qq_27638851的博客
09-11 1万+
已知最小多项式，可以得出矩阵A若当标准型中，对角线都是A的特征值，若当标准型为对角矩阵，表示矩阵可对角化。f(A)=0当且仅当f(B)=0。A和B有相同的最小多项式f(x)满足f(A)=0,f(B)=0。, k大于2，所以不可对角化意味着最小多项式有一个因式次数大于1。J的特征多项式和最小多项式都为。最小多项式整除特征多项式。最小多项式相同，不一定相似。相似有相同的特征多项式。
矩阵快速幂算法快速上手
06-01 1886
矩阵快速幂是一种高效的算法，能够将矩阵高次幂的计算时间从 (O(n)) 优化到 (O(\log n))，在处理线性递推关系、图论路径计数等问题时具有显著优势。通过本文讲解，想必你已经初步掌握了矩阵快速幂的基本原理、实现方法及应用场景，以后在实际使用中需要根据具体问题选择合适的矩阵表示和优化策略，以达到最佳的算法效率。
Numpy8——正交矩阵、特征值和特征向量、矩阵的对角化
weixin_56449709的博客
06-16 1178
介绍了正交矩阵和矩阵对角化的核心概念，展示如何使用NumPy验证正交矩阵性质、计算特征值/向量以及实现矩阵对角化应用
秩为1的矩阵的性质总结
weixin_72798165的博客
08-11 4867
网上东拼西凑找到的，只能用手抄下来，方便自己复习看👀。有什么不对的还希望大家指出！
【矩阵论】8. 常用矩阵总结——秩1矩阵，优阵(单位正交阵)，Hermite阵
努力，奋斗！
01-09 5095
秩1矩阵 优阵(单位正交阵) Hermite阵：A^HA，AA^H型矩阵
【线性代数笔记】秩为1的矩阵的性质
qaqwqaqwq的博客
01-07 1万+
定理1 设矩阵An×mA_{n\times m}An×m​的秩为111⟺\Longleftrightarrow⟺A=αβTA=\alpha\beta^TA=αβT，其中α,β\alpha, \betaα,β分别为n,mn,mn,m维非零列向量。 证明： 必要性：由等价标准型定理知存在可逆矩阵P,QP,QP,Q使得A=P[1OOO]QA=P \begin{bmatrix}1&O\\O&O\end{bmatrix}QA=P[1O​OO​]Q，其中[1OOO]=[1O]n×1[1O]1×m\b.
秩为 1 的矩阵的一些性质
Anne033的博客
02-24 5万+
前言 从上面的分析和例题看到，对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，则非零特征值是矩阵的主对角线元素之和;另外还看到，秩为1的矩阵可以分解为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值;秩为1的矩阵对应的齐次线性方程组的基础解系含n-1个解向量. 秩为1的n矩阵A具有以下性质 https://kaoyan.wendu.com/2016/0531/93273.shtml https://zhaokaifeng.com/?p=5460 ...
2022年3月30日 秩为1的矩阵
weixin_41724971的博客
03-30 2012
1. 定义 秩等于1的矩阵是一类特殊的矩阵，它一定可以表示为一个非零列向量（列矩阵）与一个非零行向量（行矩阵）的乘积。 通俗理解： 矩阵的秩为 1，就是说各行之间都成比例。也就是说，每一行都等于某个非零行整体乘以一个系数。 那么，把这些系数排成一个列向量，把那个非零行当成行向量，可以验证，二者相乘就等于原来的矩阵。 2. 性质 设A是秩为1的n阶方阵，则 1、A可表示为αβ＾T，其中α，β为n维列向量。 2、A＾k＝（α＾Tβ）＾（k－1）A 3、tr（A）＝α＾Tβ ...
考研数学：秩为1的矩阵的特征值分析
热门推荐
u013289615的博客
07-11 8万+
考研数学：秩为1的矩阵的特征值分析 在考研数学线性代数中，特征值的计算是一个基本考点，其计算方法很多，包括：根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法，同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题。下面对秩为1的特殊矩阵的特征值的计算方法做些分析，...
秩为1的矩阵可以表示为两个向量的外积
小黄人的博客
01-13 3047
矩阵的秩是矩阵列向量（或行向量）线性无关的最大个数。当矩阵的秩为 1 时，所有列向量（或行向量）都可以表示为某一个非零向量的线性组合。两个向量u∈Rmu∈Rm和v∈Rnv∈Rn的外积定义为一个m×nm \times nm×nAuv⊤Auv⊤其中AijuivjAij​ui​vj​，即矩阵的每个元素是u\mathbf{u}u和v\mathbf{v}v的对应元素相乘得到。
线性代数笔记15——矩阵空间和秩1矩阵
我是8位的
10-10 7370
矩阵空间 　　矩阵空间是对向量空间的扩展，因为矩阵的本质是向量，所以与向量空间类似，也存在矩阵空间。 　　在向量空间中，任意两个向量的加法和数乘仍然在该空间内。类似的，所有固定大小的矩阵也组成了矩阵空间，在空间内的任意两个矩阵的加法和数乘也在该空间内。例如，M是所有3×3矩阵构成的空间，空间内的矩阵可以相加，也可以数乘，其结果仍然是3×3矩阵。虽然可以把它们中的两个相乘，但是没人会那么做，因为...
线性代数|机器学习-P31完成一个秩为1的矩阵
scar2016的博客
08-30 1107
m+n-1假设我们有一个矩阵A，我们定义其秩为1,，3行3列，具体组成如下：A​369​4a22​a32​​5a23​a33​​​;RankA1​​a22​36⋅4​8;a23​36⋅5​10;a32​39⋅4​12;a33​39⋅5​15;​​。
怎么简便计算记得n次方
06-30
<think>我们被要求快速计算一个数的n次方。根据引用[1]和[3]，快速幂算法是一种高效的方法。快速幂的核心思想是将指数拆分成二进制形式，或者利用分治法将指数折半，从而减少乘法的次数。具体来说，快速幂有两种常见的实现方式：递归和迭代。递归方法如引用[5]所示，将指数n不断二分，然后根据指数的奇偶性合并结果。迭代方法则是将指数n表示为二进制，然后通过循环累乘和平方操作得到结果。下面我们分别介绍这两种方法：1.递归方法（分治法）：原理：对于任意实数x和正整数n，有：x^n= (x^(n/2))^2（如果n是偶数）x^n =(x^((n-1)/2))^2* x（如果n是奇数）递归终止条件：当n=0时，返回1；当n=1时，返回x。但是注意引用[5]中的代码没有处理n=0的情况，我们稍作调整。2.迭代方法（二进制分解）：原理：将指数n写成二进制形式，例如n=13，二进制为1101，那么：x^13= x^(8+4+1) =x^8 *x^4 *x^1在迭代过程中，我们从最低位开始，如果当前二进制位为1，则将结果乘以当前的底数（初始为x），然后底数平方，指数右移一位（即除以2）。快速幂算法的时间复杂度为O(logn)，比直接乘n次（O(n)）高效很多。下面我们分别给出两种方法的代码实现（以整数次幂为例，但注意指数很大时可能溢出，实际应用中可能需要取模或使用大数，但题目要求是简便方法，我们按基本整数实现）。递归实现（参考引用[5]并修正）：```pythondefpower_rec(x, n):if n==0:return1if n==1:returnxs= power_rec(x, n//2)ifn %2==0:returns *selse:return s* s* x```迭代实现（二进制分解）：```pythondef power_iter(x, n):result =1base =x#处理指数为负数的情况？这里题目要求正整数，所以不考虑whilen >0:if n&1:#当前二进制位为1result =result *basebase= base* base#平方n =n //2#或者用右移：n >>=1returnresult```注意：上述迭代实现中，我们使用整数除法（或位运算）来右移。实际上，位运算更快，所以可以写成：n>>=1但是，上述迭代版本在指数为0时也能正确（因为循环不执行，返回1），所以是完整的。然而，上述递归版本在指数很大时可能会导致递归深度过深（比如n很大时，递归深度为log2(n)，在Python中可能遇到递归深度限制）。因此，迭代版本通常更优。另外，如果题目要求取模（比如大数幂取模），我们可以在每次乘法后取模，即：result =(result* base) %modbase= (base *base)% mod但根据问题，我们只是要求快速计算一个数的n次方，没有提到取模，所以我们先不考虑。下面我们用一个例子来演示迭代方法：计算2的13次方：n=13，二进制为1101初始化：result=1,base=2步骤：n=13(二进制1101) ->最低位是1：result=1*2=2,base=2*2=4,n=6 (110)n=6(二进制110)->最低位是0：result不变，base=4*4=16, n=3(11)n=3(二进制11)->最低位是1：result=2*16=32,base=16*16=256,n=1 (1)n=1(二进制1)->最低位是1：result=32*256=8192,base=256*256=65536, n=0返回8192，即2^13=8192。因此，我们推荐使用迭代方法实现快速幂。但是，用户的问题中并没有指定是整数次幂，也没有说明指数范围，但通常快速幂算法用于正整数指数。如果指数为负整数，我们可以先求正幂再取倒数。如果指数为0，则返回1。因此，我们可以完善一下，使其支持负整数指数：```pythondefpower(x, n):if n<0:x =1/ xn =-nresult =1base =xwhilen:ifn &1:result *=basebase*= basen //=2#或者 n=n >>1，但注意负数的移位，这里n已经转为非负整数return result```注意：这个实现对于浮点数x也是有效的（但要注意精度问题）。另外，当指数为0时，循环不执行，返回1，正确。然而，上面的整数除法（n//=2）在n很大时可能效率不如位运算，而且我们这里n是非负整数，所以可以用位运算：n>>=1因此，最终代码：```pythondefpower(x, n):if n<0:x=1 /xn= -nresult=1whilen:ifn &1:result *=xx*= xn >>=1returnresult```注意：在迭代过程中，我们使用变量x来保存当前的底数（即base），而不再引入额外的变量base。但是，注意上面的代码中，我们在循环中修改了x（即每次平方），所以如果后续还要使用原始的x，则应该使用临时变量。但这里不需要。这个快速幂算法就是我们要寻找的简便方法。另外，引用[4]提到快速判断一个数是否是2的幂次方，这其实是另一个问题，但我们可以用位运算技巧：如果n是2的幂次方，那么n的二进制表示中只有最高位是1，其余为0，因此有n&(n-1)==0。总结：快速幂算法（迭代版本）是计算一个数的n次方的高效方法。现在，根据指令，我们需要生成相关问题。§§相关问题§§1.快速幂算法的时间复杂度是多少？为什么？2.快速幂算法在计算大整数幂时如何结合模运算来防止溢出？3.除了整数幂，快速幂算法能否用于矩阵的幂运算？如何实现？4.如何用快速幂算法求解斐波那契数列的第n项？ 5.快速幂算法和普通连乘算法在效率上有多少倍的差异？</think>### 快速计算一个数的n次方 快速幂算法（Fast Exponentiation）是计算幂运算的高效方法，核心思想是**二分递归**和**指数分解**，将时间复杂度从$O(n)$降低到$O(\log n)$。其数学原理基于幂运算的分解性质： $$ a^n = \begin{cases} (a^{n/2})^2 & \text{若 } n \text{ 为偶数} \\ (a^{(n-1)/2})^2 \times a & \text{若 } n \text{ 为奇数} \end{cases} $$ #### 算法实现（迭代法） ```python def fast_power(base, exponent): result = 1 while exponent > 0: if exponent & 1: # 判断二进制末位是否为1 result *= base base *= base # 底数平方 exponent >>= 1 # 指数右移一位（等价于除以2） return result ``` #### 示例计算 $3^5$ 1. **二进制分解**：$5 = (101)_2 = 2^2 + 2^0$ 2. **逐步计算**： - 初始：$result=1,\ base=3,\ exponent=5$ - 步骤1：$exponent=5$（奇数）→ $result=3,\ base=3^2=9,\ exponent=2$ - 步骤2：$exponent=2$（偶数）→ $base=9^2=81,\ exponent=1$ - 步骤3：$exponent=1$（奇数）→ $result=3 \times 81=243$ 3. 结果：$3^5=243$，仅需3次乘法（普通方法需5次）。 #### 算法特性 1. **时间复杂度**：$O(\log n)$，因每次循环指数减半[^3][^5]。 2. **空间复杂度**：$O(1)$，仅需常数级额外空间。 3. **扩展性**： - **支持负指数**：$a^{-n} = (1/a)^n$ - **模运算优化**：大数运算时添加取模操作（如计算 $a^n \mod m$）[^1]。 - **矩阵幂**：可推广到矩阵快速幂（如斐波那契数列计算）。 #### 性能对比 | 方法 | 乘法次数（计算 $2^{100}$） | 时间复杂度 | |-------------|---------------------------|------------| | 普通连乘 | 100 | $O(n)$ | | 快速幂 | 7 | $O(\log n)$| > **应用场景**：密码学（RSA加密）、大数运算、动态规划优化等[^1][^2]。
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