6、强化学习问题解析

强化学习问题解析

1. 多臂老虎机算法

在多臂老虎机（MAB）问题中，有几种经典的算法用于平衡探索和利用。

1.1 Softmax算法特性

Softmax算法有以下特性：
- 当忽略温度参数 $\tau$（假设 $\tau = 1$）时，对于有限的 $\mu_j$，Softmax 概率 $\theta_j$ 始终为正，因为使用了指数函数 $\exp(\mu_j)$。并且该算法不会真正停止探索，因为选择每个臂的概率始终非零。
- 与 $\epsilon$-贪心算法类似，Softmax 算法不依赖于每个臂的奖励分布族。
- 需要选择超参数 $\tau$ 来平衡探索和利用。可以从较大的 $\tau$ 开始，当 $\tau$ 趋于无穷大时，相当于进行均匀探索而不进行利用；当 $\tau$ 衰减到 0 时，算法将完全变成贪心算法。

1.2 UCB算法

之前介绍的 MAB 问题算法通过超参数及其衰减来平衡探索和利用。而 UCB（Upper Confidence Bound）算法则是根据 Hoeffding 界推导出的，用于控制探索的算法。

UCB 算法选择动作的公式为：
$A_t = \arg \max_a \left[\mu_t(a) + c \sqrt{\frac{\ln t}{N_t(a)}}\right]$
其中，$\ln$ 是自然对数，$N_t(a)$ 是在时间 $t$ 之前动作 $a$ 被选择的次数，$c > 0$ 是控制探索的参数。

与 $\epsilon$-贪心和 Softmax 算法不同，UCB 算法不是通过采样来探索，而是根据不确