Maximum Subarray

最新推荐文章于 2025-05-15 16:32:28 发布

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#分治算法

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本文探讨了最大子序列和问题，并对比了直接求解法与分治算法两种方案。直接求解法虽简单易懂但效率较低，而分治算法尽管实现稍显复杂，但在处理大规模数据时更高效。

这周学了分治算法，挑了LeetCode 上的问题，问题内容如下：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

最大子序列是分治算法当中的经典问题了。但这个问题其实首先看到我是不会直接用分治算法去计算的，先考虑的还是直接把子项和依次相加作出比较，复杂度就是O(N^2)，算法难度很小。可以直接通过for循环的嵌套完成，假设是在数组A中，A的大小为A_size。

int MaxSum = 0, sum; 
for(int i = 0; i < A_size; i++) {
    sum = 0;
    for(int j = i; j < A_size; j++) {
        sum += A[j];
        if(sum > MaxSum) {
            MaxSum = sum;
        }
    }
}

也可以把解法优化为，首先判断首项是否小于0，因为在首项小于0的时候一定不会是最大子序列，所以第二个循环可以跳过小于0的项，会简单一些。

使用分治算法的原理也很容易理解，分治算法的基本思想就是化大为小，把一个大问题化为很多个相同解法的小问题，在这个求最大子序列的问题中，我们可以把整个序列分为左右两部分，左边部分从最右开始往左相加，右边部分从最左开始往右相加。可以猜想到，最大的数列会出现在左边、右边或者是中间的部分（即左边末尾加上右边开头）。而我们分成的每个部分里面也可以重复进行这个分割，直到只剩最后一个数字。

也就是说我们需要在这当中记录三个数字，一个是左边最大的子序列和，一个是右边最大的子序列和，一个是从左边末尾起相加最大的和加上右边开头起相加的最大的和，来进行比较，挑出最大的作为答案。

int Max(int maxleft, int maxright, int maxmiddle) {
    if(maxleft < maxright) {
    maxleft = maxright;
    }
    if(maxleft < maxmiddle) {
    maxleft = maxmiddle;
    }
    return maxleft;
}

int MaxArraySum(int A[], int left, int right) {
    //边界处，当递归进行到只有一个数字时，判断数字是否大于0，大于0则留下，小于0则不要
    if(left == right) {
        return A[left];
    } else {
        return 0;
    }

    //递归
    int center, maxLeft, maxRight;
    center = (left + right) / 2;
    maxLeft = MaxArraySum(A, left, center);
    maxRight = MaxArraySum(A, center + 1, right);
    //这里是对中间部分大小的计算
    int maxLeftBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0;
    int LeftBorderSum = 0, RightBorderSum = 0;
    int i;
    for (i = center; i >= left; i--) {
        LeftBorderSum += A[i];
        if(maxLeftBorderSum < LeftBorderSum) {
            maxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
        }
    }
    for (i = center + 1; i <= right; i++) {
        RightBorderSum += A[i];
        if(maxRightBorderSum < RightBorderSum) {
            maxRightBorderSum = RightBorderSum;
        }
    }
    int MaxSum;
    MaxSum = Max(maxLeft, maxRight, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);
    return MaxSum;
}

不过我还是觉得这个问题用分治算法有点麻烦，因为如果要输出最大子序列的话，考虑第一种方法会比较好输出，只需要记录下max出现时的起点A[i]和终点A[j]则能很快输出这个序列。