26、机器人动力学：轨迹缩放、操作空间模型与动态可操作椭球

机器人动力学：轨迹缩放、操作空间模型与动态可操作椭球

在机器人动力学领域，有几个关键的概念和技术对于理解和优化机器人的运动性能至关重要，包括轨迹的动态缩放、操作空间动态模型以及动态可操作椭球。这些技术不仅有助于设计更高效的机器人机械结构，还能帮助寻找最优的机器人配置。

1. 轨迹的动态缩放

在生成机器人轨迹时，需要考虑动态约束。因为通过之前的方法生成的轨迹，可能会对机器人的动态性能要求过高，例如所需的扭矩可能超过执行器的最大供应扭矩。在这种情况下，就需要对不可行的轨迹进行适当的时间缩放。

假设已经为机器人的所有关节生成了轨迹 $q(t)$，其中 $t \in [0, t_f]$。通过计算逆动力学，可以评估执行给定运动所需的扭矩 $\tau(t)$ 的时间历程。将得到的扭矩与执行器的扭矩限制进行比较，就可以轻松检查轨迹是否可执行。问题在于寻找一种自动的轨迹动态缩放技术，避免重新计算逆动力学，使机器人能够在指定路径上以适当的时间规律执行运动，而不超过扭矩限制。

为了简化，考虑机器人动力学模型（7.42），其中 $F_v = O$，$F_s = O$ 且 $h_e = 0$。考虑新变量 $\bar{q}(r(t))$ 满足方程 $q(t) = \bar{q}(r(t))$，其中 $r(t)$ 是一个严格递增的时间标量函数，$r(0) = 0$ 且 $r(t_f) = \bar{t}_f$。

通过对 $q(t) = \bar{q}(r(t))$ 进行两次时间求导，可以得到以下关系：
$\dot{q} = \dot{r}\bar{q}’(r)$
$\ddot{q} = \dot{r}^2\bar{q}’‘(r) + \ddot{r