NKOI 3687 整数划分

最新推荐文章于 2022-05-07 18:22:17 发布

原创最新推荐文章于 2022-05-07 18:22:17 发布 · 474 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

10 篇文章

订阅专栏

P3687  整数拆分

时间限制 : - MS   空间限制 : 65536 KB 评测说明
 : 时限1000ms

问题描述

给你一个正整数N，F(x)表示把N拆分成x个正整数之和的方案数。
例如，当n=5时：
F(1)=1,方案为：{5}
F(2)=4,方案为：{1+4} {4+1} {2+3} {3+2}
F(3)=6,方案为：{1+1+3} {1+3+1} {3+1+1} {1+2+2} {2+1+2} {2+2+1}
F(4)=4,方案为：{1+1+1+2} {1+1+2+1} {1+2+1+1} {2+1+1+1}
F(5)=1,方案为：{1+1+1+1+1}
请你计算出F(1)+F(2)+......+F(N)
结果可能很大，mod 1,000,000,007 再输出!

输入格式

第一行，一个整数N

输出格式

一行，一个整数，表示所求的结果

样例输入5

样例输出16

提示

对于50%的数据1<=N<=100
对于100%的数据1<=N<=10¹⁰⁰⁰⁰⁰

   当N=5的时候，我们可以想到将5分成1 1 1 1 1，那么根据题意则相当于将每i个数合为一个的总方案(0<=i<=n-1)

我们就可以发现题目就转化为了有N-1个空，在这n-1个空中放i个球的总方案

那么很明显，可以得到一个组合数的总和

因此用暴力可以发现规律，最终答案等于2^(n-1)

但是10的十万次方的数据，甚至都不能把输入数据直接用整数的形式存下来

因此我们可以想到使用费马小定理降幂

由于答案是2^(n-1) mod 1000000007，设p=1000000007 

因为p是质数，根据费马小定理：a^(p-1) ≡1(mod p) 我们有：

2^(p-1)%p=1

2^(n-1)%p=2^((n-1)%(p-1)) %p

即在2的各次方中将2的p-1次方全部模掉，那么剩下的就是我们要求的答案了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
char str[100005];
LL mg(LL a,LL b,LL mod){
	LL ans=1;
	while(b>0){
		if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	LL i,ans,num=0;
    scanf("%s",str);
	int len=strlen(str);
	for(i=0;i<len;i++)
		num=(num*10+(str[i]-'0'))%(mod-1); 
	if(num==0)ans=mg(2,mod-2,mod);
	else ans=mg(2,num-1,mod);
	cout<<ans;
}