NOIP 2016[数论复习]

-------------------by NKSuperGate

数论是NOIP中比较有难度的一类题，其实数论的结论很容易记住，但是如何应用和转化它就是一大难点了，在有限的时间内推出无瑕疵的公式、结论是非常考验思维和能力的

因此我复习一下数论的基本定理及其延伸知识，主要是为了能在做题的时候想到这些结论，到时候能不能A这些题就靠自己平时的积累和总结了

(拓展)欧几里得

总所周知辗转相除法(GCD)是求最大公因数的经典算法，假设数a,b的GCD为g由此我们可以求出其最小公倍数为a*b/g

Extended_Gcd是求ax+by=GCD(a,b)的不定方程的解的算法(注意这个方程是保证有解的！)

那么如何解方程ax+by=c呢?由于ax+by=Gcd(a,b)一定有解，并且a%g==b%g==(ax+by)%g==0，也就是说如果c%g==0那么原式一定有解

因此我们可以先求出ax+by=Gcd(a,b)的一组解x,y，然后ax+by=c的解就为x0=x*c/g,y0=y*c/g

在进行推论，可以知道解为x=x0+k*b/g,y=y0-k*a/g，其中k为正整数

另外，拓展欧几里得还可以用来求乘法逆元，但是明显MG+费马求逆元更快，因此就不考虑用扩欧了

int ext(int a,int b,int &x,int &y){
	int temp;
	if(b==0){x=1,y=0;return a;}
	int G=ext(b,a%b,x,y);
	temp=x,x=y,y=temp-a/b*y;
} 

费马小定理

费马小定理主要内容是:如果两个数a,p互质且p为质数,则a^(p-1)≡1(mod p)

其实费马小定理主要用于求乘法逆元，如果a, p互质且p为质数，则a^(p-2)就是a关于mod p的乘法逆元

欧拉函数

欧拉函数φ(x)的定义是小于等于x且与x互质的数的个数,有如下性质

性质1:若x,y互质(即gcd(x,y)=1),那么φ(x*y)=φ(x)*φ(y)

性质2:若x是奇数φ(2x) =φ(x)  

性质3:若x是质数φ(x) =x-1

性质4:若x>2,φ(x) 为偶数

求欧拉函数有两种方法,第一种能在O(n)时间内求出一段区间之内的欧拉函数表，第二种能在O(√n)内求出n的欧拉函数,这里先给出第二种方法,第一种方法将和线性筛质数放在一起复习,本质上的原理是几乎一样的

int F(int x){
	int i,a=x,ans=x;
	for(i=2;i*i<=a;i++)
		if(a%i==0){
			ans=ans-ans/i;
			while(a%i==0)a/=i;
		}
	if(a>1)ans=ans-ans/a;
	return ans;
}

欧拉定理

若a,n为正整数，且a,n互质(即gcd(a,n)=1)，则有:a^φ(n)≡1(mod n)

与n互质，当b很大时,可用欧拉定理降幂(a^b)mod n=(a^(b mod φ(n)))mod n

相关证明http://m.ithao123.cn/content-5288189.html

线性筛

线性筛法是一种能够在线性时间内求出需要的表的筛法,主要用于筛选质数和欧拉函数,都能有效的在O(n)时间内求出答案,这里分别给出两种筛法的代码，希望能够理解一下两种筛法的不同以及相同之处

//////////////////线性筛质数 
void Prime_table(){
	int i,j,tot=0;
	for(i=2;i<=maxn;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i;
		for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=maxn;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}
///////////////////线性筛欧拉
void F_table(){
	int i,j,tot=0;
	for(i=2;i<=maxn;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,F[i]=i-1;
		for(j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=maxn;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				F[i*prime[j]]=F[i]*prime[j];
				break;
			}
			else F[i*prime[j]]=F[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

组合数取模

组合数取模分两种情况,当n固定时，有:

C[i]=C[i-1]*(n-i+1)/i (i >= 1) 

C[i]=1(i == 0)  

如果n不固定，并且n的范围还比较大，那怎么办呢?

以C(6,4)为例：
C(6,4)=(6!)/(4!*2!)=((2*3)*(5)*(2*2)*(3)*(2)) / ((2*2)*(3)*(2) * (2))

我们记录分子分母中对应质数的个数： 分子:Pri[2]=4,Pri[3]=2,Pri[5]=1
分母:Pri'[2]=4,Pri'[3]=1
上下抵消，剩下Pri[3]=1,Pri[5]=1

总结

数论通常来讲都是区分度比较大的一类题,一般来讲代码都比较短，并且思路都很清晰，难点就在于对题目的分析和条件的转化上，这一点仅仅掌握基础知识是不够的，还必须要依靠敏捷的思维,这一点就在平常的训练中得以体现了