欧几里得扩展欧几里得

最新推荐文章于 2018-07-25 15:55:52 发布

gdymind

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分类专栏： acm 数论文章标签：数论欧几里得 gcd acm

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本文介绍了最大公约数(GCD)的计算方法及其扩展欧几里得算法的应用。扩展欧几里得算法不仅可以求两个整数的最大公约数，还能找到一组整数解，使得ax+by=gcd(a,b)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.GCD

int gcd(int a, int b)
{
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

2.扩展欧几里得

求a和b的最大公约数,
求整数x和y，使得 $ax+by=gcd(a,b)$

void  exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y)
{
    if(!b){ d = a; x = 1; y = 0;}
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= a/b*x; }
}

得到x和y后，可继续得到 $ax+by=c$ 的整数解，下面计算了x

bool solve(int a, int b,int c, int& x,int& y)
{
    int d;
    exgcd(a, b, d, x, y);
    if(!d || c%d) return false;
    x *= c/d;
    y *= c/d;
    a /= d;
    b /= d;
    if(a<0) a=-a;
    if(b<0) b=-b;
    ((x %= b) += b) %= b;//此时x+mb，y-ma都是解，m为自然数  
    return true;
}