中国剩余定理

1.同余方程组（中国剩余定理）不互质版

已知同余方程组$x\equiv r_i \pmod{m_i}$(其中$m_1,m_2...m_n$不保证互质)的$m_i$和$r_i$，求x.
先看前两个方程，$x \bmod m_1 = r_1$，即

$$x = r_1 + m_1k_1 ......(1)$$
$x \bmod m_2 = r_2$，即 $$x = r_2 + m_2k_2......(2)$$
由上面两式可得， $r_1 + m_1k_1 = r_2 + m_2k_2$，
移项，得 $$m_1k_1 - m_2k_2 = r_2 - r_1......(3)$$
令 $a=m_1,b=-m_2,c=r_2-r_1$，
得 $$ak_1+bk_2=c......(4)$$
(此时要判断是否有解)
用扩展欧几里得解出 $k_1$后带入(1)，得到满足前两个同余方程的一个特解 $x_2$.
在(4)中, $k_1+p·b/gcd(m_1,m_2)$(p∈Z)也是解，则 $k_1+p·m_2/gcd(m_1,m_2)$也是解，
将 $k_1+p·m_2/gcd(m_1,m_2)$带入(1)中，得
$$x = r_1 + m_1k_1+p·m_1m_2/gcd(m_1,m_2)$$ ，
即
$$x = x_0+p·lcm(m_1,m_2)......(5)$$
也就是
$$x \equiv x_0 \pmod{lcm(m_1,m_2)}·......(6)$$
至此，我们求出了满足方程(1)和(2)的解，它就是(6)的解
将(6)和 $x \bmod m_3 = r_3$联立，会发现这和解(1)(2)是同一个问题！于是就可以愉快的往下递推了！！！
下面代码求了x的 最小正值

int excrt(int m[], int r[], int n)
{
     int M = m[0], R = r[0], x, y;
     for (int i = 1; i < n; i++)
     {
         if(!solve(M, m[i], r[i] - R, x, y)) return -1;//无解输出-1
         R += x * M;
         M /= d;
         M /= m[i];
         (R += M) %= M;
     }
     return R;
 }

2.同余方程组（中国剩余定理）互质版

$x\equiv r_i\pmod{m_i}$，其中$m_1,m_2...m_n$互质。
需要用到扩展欧几里得算法
下面返回了最小的正数x
设M为$m_i$的乘积，则x+kM也是解

int crt(int n,int r[],int m[])
{
    int lcm = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++) lcm *= m[i];
    int ans = 0;
    int M,t,tmp;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        M = lcm/m[i];
        if(!solve(M, m[i], 1, t, tmp)) return -1;
        ans+= r[i]*t*M;
    }
    (ans += lcm) %= lcm;
    return ans;
}

扩展欧几里得