浅谈斐波那契数列——从递推到矩阵乘法

说在前面

相信大家都已经知道这个中外著名的费波纳切数列了吧，关于费波那契数列有很多有趣的性质，但我们这里不讲，在这里我们只是利用斐波那契数列来引出另一个神奇的东西，矩阵乘法，递推在这里是起一个对比与铺垫的作用，（没有对比就不知道矩阵乘法有多快）。

斐波那契数列

定义一个数列

$$F(n) = \begin{cases} 0, & \text{$n$=0 } \\ 1，& \text{$n$=1} \\ F_{n-1}+F_{n-2}, & \text{$n \ge 2$} \end{cases}$$

递推

递推（我当大家都会了），但是这样的做法时间复杂度是$O(n)$，的，当n很大时，这个算法就会T。

通项公式

斐波那契数列有一个通项公式，

$$F(n)=\frac{1}{\sqrt5}\times \left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2})\right)^n \right]$$ ,直接用快速幂计算两个log，但是如果要取模怎么办？求一个非整数的逆元？通项公式似乎很难。

进入正题——矩阵乘法

知识预备：
①设

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0& 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}$$
$$B= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$
$$AB= \begin{bmatrix} (1\times3+0\times2+2\times1) & (1\times1+0\times1+2\times0) \\ (-1\times3+3\times2+1\times1) & (-1\times1+3\times1+1\times0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$$
②设
$$A= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \\ \end{bmatrix}$$
$$B= \begin{bmatrix} e \\ f \\ \end{bmatrix}$$
$$AB= \begin{bmatrix} ae+cf \\ be+df \\ \end{bmatrix}$$
有了这些东西，接下来就可以做斐波那契了，把相邻两项写在一个2*1的矩阵中，
$$\begin{align} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} F_{n-1}+F_{n-2} \\ F_{n-1} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} F_{n-1} \times1+F_{n-2}\times1 \\ F_{n-1}\times1+F_{n-2}\times0 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2}\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix} F_1\\ F_0\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} \end{align}$$
那么问题的本质，就是如何解决计算这一块
$$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}^{n-1}$$
算完之后，取矩阵第一行第一列的元素，计算这个其实又是快速幂，说些什么呢？谢谢蒙格马利吧。

代码

快速幂：

function f(a,b:extended;n:int64):int64;
var
        t,y:extended;
begin
        t:=1;
        y:=a;
        while b<>0 do
        begin
                if(b and 1)=1 then
                t:=t*y mod n  ;
                y:=y*y mod n;
                b:=b shr 1;
        end;
        exit(t);
end;

用快速幂求出斐波那契的第n项。

type
        matrix=array[0..1,0..1] of int64;
const
        mo=trunc(1e+8+7);
var
    a,ans:array[0..1] of int64;
    b,c,d:matrix;
    i,j,k:longint;
        n:int64;
procedure work(var a,b,c:matrix);//两个2*2的矩阵相乘
var
        i,j,k:longint;
begin
        for i:=0 to 1 do
        begin
                for j:=0 to 1 do
                begin
                        for k:=0 to 1 do
                        begin
                                c[i,j]:=(c[i,j]+a[i,k]*b[k,j] mod mo) mod mo;
                        end;
                end;
        end;
end;
procedure fastpower(x:int64);
begin
        c[0,0]:=1;
    c[0,1]:=1;
    c[1,0]:=1;
        c[1,1]:=0;
    b[0,0]:=1;//开始将B赋值为单位矩阵，相当于实数中1在乘法中的作用
    b[1,1]:=1;
    while x<>0 do
    begin
        if (x and 1)=1 then
        begin
            fillchar(d,sizeof(d),0);
                        work(b,c,d);
                        b:=d;
        end;
        fillchar(d,sizeof(d),0);
                work(c,c,d);
                c:=d;
                x:=x div 2;
    end;
end;
begin
        readln(n);
        if n=0 then
                writeln(0);
        if (n=1)or(n=2) then
                writeln(1);
    fastpower(n-1);
    a[0]:=1;
    a[1]:=0;
    for i:=0 to 1 do
    begin
        for j:=0 to 1 do
        begin
            ans[i]:=(ans[i]+a[j]*b[j][i] mod mo) mod mo;
        end;
    end;
    writeln(ans[0] mod mo);
end.

可以发现其实两者实质上是一样的，只是在计算的时候，一个用矩阵计算，另一个直接用一个变量计算，（矩阵其实也就是一堆变量）。

the end

由于我的水平有限，难免有些会写错的，希望大家多多包容，批评指正，谢谢。