39、板球轨迹模拟与数据回归分析

板球轨迹模拟与数据回归分析

1. 板球轨迹模拟

1.1 问题背景

队长马亨德拉·辛格·多尼（Mahendra Singh Dhoni）指出，在达兰萨拉板球场比在莫哈里更容易击出“六分球”。达兰萨拉海拔约 2000 米。学生们将一个作业问题转化为一个项目问题，以研究重力加速度和空气阻力如何影响球的落点。我们首先要解决的问题是，计算以一定速度和角度击出的板球的轨迹，从而确定球落地的位置。

1.2 轨迹的常微分方程求解

计算球轨迹的模型方程包括 x 和 y 方向的力平衡。在任意点，球的速度有两个分量：
[v = u\vec{i} + v\vec{j}]
由于初始速度和角度已知，在 (t = 0) 时，两个分量 (u_0) 和 (v_0) 是已知的。空气阻力与球的运动方向相反，重力向下作用。因此，球的总体平衡方程为：
[
\begin{cases}
m\dot{u} = -\kappa|v|u \
m\dot{v} = -\kappa|v|v - mg
\end{cases}
]
其中，净空气阻力为 (\kappa|v|v)，与球的运动方向相反，(|v|) 是速度的大小。空气阻力在 x 和 y 方向的两个分量分别为 (-\kappa|v|u) 和 (-\kappa|v|v)（负号表示方向与相应的速度分量相反）。因此，总体的常微分方程初值问题（ODE - IVP）为：
[
\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
x \
y \
u \
v
\end{bmatrix}