24、非线性代数方程求解方法

非线性代数方程求解方法

在求解非线性代数方程时，有多种数值方法可供选择。本文将详细介绍几种常见的方法，包括二分法、割线法、虚假位置法、布伦特法、不动点迭代法和牛顿 - 拉夫逊法，并通过具体的代码示例展示它们在求解 Redlich - Kwong 状态方程（RK EOS）中的应用。

1. 符号说明

在介绍具体方法之前，先明确一些符号的含义：
- (x(i))：表示第 (i) 次迭代的猜测值，其中 (i) 为迭代索引。
- (e(i)=x(i) - x(i - 1))：表示相邻两次迭代之间的近似误差。
- (e_t(i)=x(i)-\hat{x})：表示真实近似误差，其中 (\hat{x}) 为真实解。
- (\epsilon(i)) 和 (e_t(i))：分别表示相应的相对误差。
- (\Delta)：用于表示差值，具体含义根据上下文确定。
- (g(i))：是 (g(x(i))) 的简写。根据解的定义，(g^\star = g(x^\star)=0)。

2. 二分法

二分法是一种区间套方法，其基本思想是通过不断将区间一分为二，逐步逼近方程的根。

2.1 算法步骤

1. 选择初始猜测值 ：选择两个初始猜测值 (x(L)) 和 (x(U))，使得它们位于期望解的两侧，即 (g(x(L))\cdot g(x(U)) < 0)。
2. 计算新的猜测值 ：通过将连接 (x(L)) 和 (x(U)) 的线段二等分，得到新的猜测值 (x(i + 1)=\frac