21、求解超越方程的高效迭代方法

求解超越方程的高效迭代方法

1. 超越方程概述

超越方程在众多技术领域有着广泛的应用，例如在光伏系统最大功率点跟踪的优化中，求根方法就发挥着重要作用。超越方程是指包含对数函数、指数函数、三角函数和多项式的方程，像 $x - \cos x = 0$，$x = e^{-x}$，$2^x = x^2$ 等。这类方程可能有一个根、没有根或者有无限多个根，具体取决于方程 $f(x) = 0$ 的形式。

求超越方程 $f(x) = 0$ 根的方法主要有两种：
1. 直接法
2. 数值法

不过，对于高次代数方程或超越方程，并没有直接的求解方法，通常需要使用不同的数值方法。下面将介绍几种常见的数值方法。

2. 割线法和试位法

• 试位法（Regula - Falsi Method） ：这是一种古老的方法，可追溯到古埃及。它也被称为线性插值法和假位法，是求解非线性方程 $f(x) = 0$ 在区间 $(a, b)$ 内实根的有效方法。前提是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 和 $f(b)$ 异号。
  • 优点 ：
    1. 适合在计算机上实现。
    2. 比二分法收敛到根的速度更快。
    3. 每次迭代只需要进行一次函数求值，计算量相对较小。
  • 局限性 ：在某些情况下，计算得到的近似值大多或全部位于根的同一侧，导致收敛速