7、量子玻尔兹曼机：原理、训练与应用

量子玻尔兹曼机：原理、训练与应用

1. 从图论到玻尔兹曼机

在深入了解量子玻尔兹曼机之前，我们先回顾一下图论的相关知识。图是由顶点（点或节点）和连接这些顶点的边组成的。有向图包含有序的顶点对，而无向图包含无序的顶点对。我们考虑一个图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是有限个顶点的集合，$E$ 是无向边的集合。对于给定的顶点 $v \in V$，其邻域定义为通过某条边与它相连的所有顶点的集合，即 $N(v) := {w \in V : {v, w} \in E}$。团 $C$ 是 $V$ 的一个子集，使得 $C$ 中的所有顶点都通过 $E$ 中的某条边两两相连。

对于每个顶点 $v \in V$，我们关联一个取值于某个空间 $X$ 的随机变量 $X_v$。向量 $X \in X^{|V|}$ 被称为马尔可夫随机场，如果满足 $Law(X_v|(X_w) {w\in V\setminus{v}}) = Law(X_v|(X_w) {w\in N(v)})$。

Hammersley - Clifford 定理指出，一个严格正的分布关于无向图满足马尔可夫性质，当且仅当它可以在该图上进行因式分解。即对于所有 $x \in X^{|V|}$，$X$ 的分布可以写成 $P_X(x) := P(X = x) = \frac{1}{Z} \prod_{C\in C} \psi_C(x_C)$，其中 ${\psi_C} {C\in C}$ 是定义在所有团 $C \in C$ 上的势函数，$Z$ 是归一化常数，使得概率积分等于 1。这里 $x_C$ 自然对应于向量 $x$ 在团 $C$ 上的元素。这种因式分解通常是在所谓的最大团上进行的，即添加任何节点后就不再是