35、非迭代概率辩护逻辑的复杂性探讨

非迭代概率辩护逻辑的复杂性探讨

1. 引言

在传统的模态认知逻辑中，通常使用形如 □α 的公式来表达一个主体相信 α。而辩护逻辑则将 □ - 模态“展开”为一系列所谓的辩护项，这些辩护项用于表示主体信念的证据。例如，辩护逻辑中的公式 t : α 意味着主体因为理由 t 而相信 α。

最初，Artemov 开发了第一个辩护逻辑——证明逻辑，旨在为直觉主义逻辑提供经典可证性语义，其中辩护项代表皮亚诺算术中的形式证明。不过，这些项也可以表示非正式的辩护，比如直接观察或从朋友处得知的信息。这种对辩护的广义解读催生了多种用于不同应用的认知辩护逻辑。

为了体现不同类型的证据对 α 的支持会导致不同程度的信念，我们在辩护逻辑中引入了概率算子。例如，主体从不可靠的朋友处得知 α，和从可靠的报纸上读到 α，虽然都有对 α 的辩护，但对这两个信息源的信任程度自然不同，而经典辩护逻辑无法表达这种信任差异。因此，带有概率算子的辩护逻辑（概率辩护逻辑）的主要贡献在于能够比较不同的信息源。

概率逻辑可用于建模不确定推理。其概念最早由莱布尼茨提出，但现代发展始于 20 世纪 70 - 80 年代 Keisler 和 Nilsson 的研究。Fagin 等人引入了一种逻辑，其语法中内置了算术运算，可表达公式概率的线性不等式的布尔组合，该逻辑的可推导性问题被证明是 coNP - 完全的，与经典命题逻辑相同。Ognjanović 等人定义的逻辑 LPP2 同样是基于经典的概率逻辑，使用了无穷规则以实现强完备性证明，其可推导性问题也是 coNP - 完全的。

沿着 LPP2 的思路，我们定义了逻辑 PJ，它是在基本辩护逻辑 J 的基础上添加（非迭代）概率算子得到的。PJ 的语言