7、定点实数算术运算全解析

定点实数算术运算全解析

在许多嵌入式应用中，对实数的需求往往较少，即便需要，定点实数相较于浮点数也更为常见。这主要是因为处理器可能缺乏浮点指令，带有浮点功能的处理器会增加成本，或者使用浮点数会带来不可接受的性能损失。下面我们将深入探讨定点实数的相关算术运算。

高效运算实现与任意常数除法

部分现代精简指令集计算机（RISC）微处理器，如 ARM 系列处理器芯片，具备对指令操作数进行预移位的能力，从而实现更高效的运算。例如，对于操作数 A，可按以下步骤操作：
1. 获取 A 左移 6 位的副本：$S 2^6 A$
2. 加上 A 左移 3 位的值：$S 2^6 A + 2^3 A$
3. 再加上 A 左移 1 位的值：$S 2^6 A + 2^3 A + 2^1 A$

当除数为常数但处理器没有除法指令时，若处理器有乘法指令，可利用倒数乘法原理进行除法运算。原理上，用乘以 $1/B$ 替代除以 B，即 $A \div B = A * (1/B)$ 。然而，当 $B > 1$ 时，$1/B$ 为 0。为解决此问题，使用 $2^k/B$ 代替 $1/B$ ，并将结果右移 $k$ 位（算术右移）来除以 $2^k$ ，即 $A * (1/B) = [A * (2^k/B)] \div 2^k = [A * (2^k/B)] >> k$ 。

由于乘法指令会产生双倍长度的乘积 P，其最高有效位和最低有效位会分别存于两个单长度存储位置 $P_{hi}$ 和 $P_{lo}$ 。若选择 $k$ 等于处理器的基本字长，无需将 P 右移 $k$ 位，直接从 $P_{hi}$ 获取商即可。

不过，倒数乘法可能会在商中引入