4、深入理解数字系统：从二进制到整数表示

深入理解数字系统：从二进制到整数表示

1. 位置数字系统基础

在日常生活中，当我们看到一串十进制数字时，能迅速解读其数值。这得益于我们熟知从左到右数字的重要性递减，且记住了“9”比“0”权重更大。位置数字系统，如我们熟悉的十进制系统，利用符号序列来表示大数。序列所代表的值可以用一个简单的多项式数学表达，每个符号的算术值根据其位置加权。

例如，十进制序列 1234 的值为：
[1234_{10} = 1 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 4 \times 10^0 = 1 \times 1000 + 2 \times 100 + 3 \times 10 + 4 \times 1]

当从十进制转换到二进制时，只需在多项式中使用 2 的幂次而非 10 的幂次。对于更通用的 R 进制情况，使用 R 的幂次：
[5678_R = 5 \times R^3 + 6 \times R^2 + 7 \times R^1 + 8 \times R^0]

该技术也适用于有小数部分的数字，只要记住小数点右侧的指数为负：
[36.72_R = 3 \times R^1 + 6 \times R^0 + 7 \times R^{-1} + 2 \times R^{-2}]

重要的是，我们可以使用熟悉的十进制算术来计算这个多项式，但仅当目标表示为十进制时，即从其他进制转换为十进制时可行。反之则需使用 R 进制算术，这通常是我们不想做的。因此，后续我们将用多项式求值转换为十进制，用不同技术从十进制转换。

2. 二进制转十进制

2.1 多项