25、阿姆斯特朗公理的共同知识语义解读

阿姆斯特朗公理的共同知识语义解读

1. 共同知识语义基础

在认知世界中，若要使群体 A 对命题 p 的共同知识能蕴含群体 B 对 p 的共同知识，无论命题变量 p 在给定的克里普克框架上如何评估，需满足一定条件。具体而言，对于认知世界 u 中的群体 A 和 B，若存在一系列由 B 中元素连接的世界序列，那么必然存在一个由 A 中元素连接的世界序列。这一条件形式化后用于定义克里普克框架与命题公式之间的关系。

定义 4 给出了克里普克框架 (K = (W, A, {\sim_a} {a\in A})) 与命题公式 (\varPhi(A)) 之间关系 (\vDash) 的具体规则：
- (K \nvDash \bot)
- (K \vDash A \vdash B) 当且仅当对于任意 (x, y \in W)，若存在 (n \geq 0)，(w_0, \ldots, w_n \in W) 以及 (b_1, \ldots, b_n \in B) 使得 (x = w_0 \sim {b_1} w_1 \sim_{b_2} w_2 \sim_{b_3} \cdots \sim_{b_n} w_n = y)，则存在 (m \geq 0)，(v_0, \ldots, v_m \in W) 以及 (a_1, \ldots, a_m \in A) 使得 (x = v_0 \sim_{a_1} v_1 \sim_{a_2} v_2 \sim_{a_3} \cdots \sim_{a_m} v_m = y)
- (K \vDash \phi \to \psi) 当且仅当 (K \nvDash \phi) 或 (K \vDash \psi)

2. 逻辑