24、非单调函数与阿姆斯特朗公理的知识探讨

非单调函数与阿姆斯特朗公理的知识探讨

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在逻辑程序中，通常选择 $\kappa$ 等于 $\Omega$，真值集由小于 $\Omega$ 的序数 $\alpha$ 索引。我们不禁思考，选择不同的 $\kappa$ 值以及相应由小于 $\kappa$ 的序数 $\alpha$ 索引的不同真值集 $V_{\kappa}$ 会有什么影响。

由于 $\sim$ 运算符的语义，$\kappa$ 必须是极限序数。因为若 $\kappa = \beta + 1$，那么 $\sim T_{\beta}$ 的值将不属于 $V_{\kappa}$。直观来看，若选择较小的 $\kappa$，会“失去精度”；若选择非常大的 $\kappa$，则“不会获得额外的精度”。更正式地说，选择较小的 $\kappa$ 时，程序的最小模型中某些变量会被迫取值为 0；若选择 $\kappa > \Omega$，额外的真值对最小模型无贡献，因为程序由可数条规则组成，可数个真值足以赋予其正确含义。

接下来看看布尔文法的相关内容。布尔文法是上下文无关文法的扩展，带有合取和补运算。其语义最初用三值逻辑开发，也可用类似前面的无穷值逻辑定义。

• 布尔文法定义 ：布尔文法是一个四元组 $G = (\Sigma, N, P, S)$，其中 $\Sigma$ 和 $N$ 分别是不相交的有限非空终结符和非终结符集，$P$ 是有限规则集，规则形式为 $A \to u_1 \& \cdots \& u_m \& \neg v_1 \& \cdots \& \neg v_n$（$m + n \geq 1$，$u