23、非单调函数的预固定点和后固定点定理及其在逻辑编程中的应用

非单调函数的预固定点和后固定点定理及其在逻辑编程中的应用

在数学和计算机科学领域，对于非单调函数的研究一直是一个重要的课题。本文将探讨非单调函数的预固定点和后固定点定理，并展示这些定理在非单调逻辑编程中的应用。

1. 基本概念

在开始讨论定理之前，我们需要了解一些基本概念。设 (L) 是一个集合，(\leq) 和 (\sqsubseteq) 是 (L) 上的两个偏序关系。我们用 (\bot) 和 (\top) 分别表示 (L) 关于 (\leq) 的最小和最大元素。

• 兼容序列 ：一个序列 ((x_{\alpha}) {\alpha < \kappa}) 被称为兼容的，如果每个 (x {\alpha}) 是 ([x_{\alpha}] {\alpha}) 中关于 (\leq) 的最小元素，并且对于所有 (\alpha < \beta)，有 (x {\alpha} = {\alpha} x {\beta})。
• (\alpha)-单调函数 ：设 (\alpha < \kappa)，一个函数 (f: L \to L) 被称为 (\alpha)-单调的，如果对于所有 (x, y \in L)，如果 (x \sqsubseteq_{\alpha} y)，则 (f(x) \sqsubseteq_{\alpha} f(y))。

2. 预固定点和后固定点定理

我们将介绍两个关于后固定点的定理，并通过对偶性得到相应的预固定点定理。