20、递归定义与不动点定理：理论与应用

递归定义与不动点定理：理论与应用

1. 递归定义与极限

在数学中，递归定义常常涉及到序列的极限。考虑一个序列 (Y)，像 3.1415927、3.2 和 4 都是 (Y) 的上界。然而，在有理数集 (Q) 中，(Y) 没有极限，因为大于或等于 (Y) 中任何数的最小数是 (\pi)，而 (\pi) 不是有理数。但如果把 (Y) 看作实数集 (R) 中的递增序列，那么 (\lim Y = \pi)。这个例子表明，递增序列的极限不一定是该序列的元素。

2. 完全偏序集

2.1 定义

一个完全偏序集（cpo）((D, \sqsubseteq)) 是一个具有最小点的偏序集，并且每个递增序列在 (D) 内都有极限。具体定义如下：
- 对于每个递增序列 (Y \subseteq D)，极限 (\lim Y) 存在。
- 存在一个最小元素 (\bot \in D)（也称为底部元素），即对于所有 (d \in D)，都有 (\bot \sqsubseteq d)。

2.2 相关问题

• 问题 15.17 ：证明一个 cpo 有且仅有一个底部元素。即若存在两个底部元素，则它们相等。
• 问题 15.18 ：证明 (\lim \varnothing = \bot)，这表明定义 15.16 中的第二个条件实际上是多余的。

2.3 示例

• ((R, \leq)) 不是一个 cpo，例如递增序列 ({1, 2, 3, 4, 5, \ldots