43、图相关问题的算法研究

图相关问题的算法研究

1. 语法识别算法

在语法识别领域，有关于在立方时间内识别双边上下文的相关研究。

1.1 引理及证明

• 引理 10 ：设 $G = (\Sigma, N, R, S)$ 是处于 SNF 形式的语法，$x \in \Sigma^*$ 且 $\psi$ 是一个原子。那么 $Axioms(G, x) \vdash \psi$ 当且仅当 $ParseSnf(G, x)$ 将 $\psi$ 添加到 $P$ 中。
  • 证明 ：通过对推导长度进行归纳来证明正向方向（完备性）。很明显，当且仅当调用 $Proved([A, u\langle v\rangle w])$ 时，原子才会被添加到 $P$ 中。若调用了该函数，$[A, u\langle v\rangle w]$ 会被精确地添加一次到 $P$、$Q$、$starts[A][|u|]$ 和 $ends[A][|uv|]$ 中，并且最终会在第 23 行从 $Q$ 中移除。
    • 若 $\psi$ 能在零步内从 $Axioms(G, x)$ 推导得出，那么它是 $Axioms(G, x)$ 的一个元素，并会在第 21 行被添加到集合中。
    • 设 $\varphi_1 \land \cdots \land \varphi_m \Rightarrow \psi \in Axioms(G, x)$，假设对于归纳，$Axioms(G, x) \vdash \varphi_j$ 且对于每个 $j \in 1, \cdots, m$ 都调用了 $Proved