11、高效光线追踪：双线性面片与多命中算法解析

高效光线追踪：双线性面片与多命中算法解析

1. 双线性面片光线相交算法（GARP）

在光线追踪领域，双线性面片的光线相交计算是一个重要的研究方向。GARP（Geometric Approach to Ray/Bilinear Patch Intersections）算法为解决这一问题提供了有效的途径。

1.1 基本概念

光线与面片的相交由参数 (t)（沿光线的交点）和 ({u, v})（面片上的点）定义。仅知道 (t) 是不够的，因为表面法线的计算需要 (u) 和 (v) 的值。我们首先通过简单的几何考虑来求解 (u) 的值。

双线性面片的边是直线。我们定义两个相对边上的点 (P_a(u) = (1 - u)Q_{00} + uQ_{10}) 和 (P_b(u) = (1 - u)Q_{01} + uQ_{11})，然后考虑通过 (P_a) 和 (P_b) 的参数化直线族。

1.2 求解 (u) 的值

• 第一步：推导方程 ：我们首先推导光线与直线 ((P_a(u), P_b(u))) 之间的有符号距离方程，并将其设为 0。这个距离是 ((P_a - O) \cdot \frac{\hat{n}}{|\hat{n}|})，其中 (\hat{n} = \vec{d} \times (P_b - P_a))。我们只需要分子，将其设为 0 得到一个关于 (u) 的二次方程 (a + bu + cu^2 = 0)。
• 系数计算 ：经过一些简单的简化，其系数可以简化为特定的表达式 (a)、(b) 和 (c)。我们将 (q_n = (