10、光线追踪中的相交计算优化：球体与双线性面片

光线追踪中的相交计算优化：球体与双线性面片

在计算机图形学的光线追踪领域，精确计算光线与物体的相交是至关重要的。本文将介绍光线与球体相交以及光线与双线性面片相交的相关知识，包括基本原理、精度问题及优化方法。

光线与球体相交

光线追踪中，球体是最简单的物体之一，许多早期的光线追踪图像都以球体为特色。

基本相交计算

球体可以由中心 $G$ 和半径 $r$ 定义。对于球面上的所有点 $P$，满足方程：
[
(P - G) \cdot (P - G) = r^2
]
为了找到球体与光线的交点，将 $P$ 替换为 $R(t) = O + td$（其中 $O$ 是光线原点，$d$ 是光线方向）。经过简化并使用 $f = O - G$，得到二次方程：
[
at^2 + bt + c = 0
]
其中：
[
a = d \cdot d
]
[
b = 2f \cdot d
]
[
c = f \cdot f - r^2
]
该二次方程的解为：
[
t_{0,1} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
如果判别式 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$，光线未命中球体；如果 $\Delta = 0$，光线刚好接触球体；否则，有两个 $t$ 值对应不同的交点。将 $t$ 值代入光线方程 $R(t)$ 可得到交点 $P_{0,1} = R(t_{0,1}) = O + t_{0,1}d$。计算出交点后，该点的归一化法线