30、见证查找查询复杂度的研究

见证查找查询复杂度的研究

1. 引言

在信息论见证查找问题的研究中，我们关注不同类型查询在见证查找中的复杂度。主要探讨了交集查询、单调查询和 NP 查询在任意子集以及仿射子空间上的见证查找复杂度。通过信息论的方法，我们将证明多个重要的下界结果。

2. 单调查询的下界

• 相关符号与引理
  • 定义二进制熵函数 (H : [0, 1] \to [0, 1]) 为 (H(p) := p \log(1/p)+(1 - p) \log(1/(1 - p)))。对于有限随机变量 (X) 和 (Y)，熵 (H(X)) 和相对熵 (H(X | Y)) 定义如下：
    [
    H(X) := \sum_{x \in \text{Supp}(X)} P[X = x] \cdot \log(1/P[X = x])
    ]
    [
    H(X | Y) := \sum_{y \in \text{Supp}(Y)} P[Y = y] \cdot H(X | Y = y)
    ]
  • 引理 1：假设 (W) 是 (W \setminus {\varnothing}) 上的随机变量，对于所有 (Q_1, \ldots, Q_m \in Q) 和每个函数 (f : {\top, \bot}^m \to {0, 1}^n)，有 (P[f(Q_1(W), \ldots, Q_m(W)) \in W] \leq 1/2)，则 (W) - 见证查找的 (Q) - 查询复杂度大于 (m)。
• 随机子集 (W) 的定义