29、半自动结构与见证查找的查询复杂度

半自动结构与见证查找的查询复杂度

1. 半自动结构

半自动结构在数学领域有着重要的研究价值，下面我们来探讨一些常见的半自动结构及其相关性质。

1.1 环

整数环 $(Z, +, <, =; ·)$ 是半自动的。乘法的半自动性源于与固定常数的乘法可以通过从 0 开始对输入进行固定次数的重复加或减来实现。而且，我们可以对整数环进行扩充，加入自然数的根，同时保持加法和序关系是自动的，乘法是半自动的。
- 定理 19 ：对于每个正自然数 $n$，环 $(Z(\sqrt{n}), +, <, =; ·)$ 都有半自动表示。
- 定理 20 ：存在一个环 $(R, +, =, ·)$，使得 $(R, +, =)$ 是自动群，并且函数族 ${y \to y · x : x \in R}$ 是半自动的，而对于固定的 $x \in R$，每个函数 $y \to x · y$ 要么恒为 0，要么不是自动的（与环的自动表示无关）。

1.2 域和向量空间

设 $(A, +, <, =; ·)$ 是一个半自动有序环，这样的环是整环。因为对于两个非零因子 $v$ 和 $w$，在必要时乘以 -1 后，可以假设 $0 < v$ 且 $0 < w$，那么 $0 < v · w$，所以 $v · w$ 不等于 0，因此商域总是有定义的。
- 定理 21 ：如果 $(A, +, <, =; ·)$ 是半自动有序环，那么由该环定义的唯一商域 $F$ 是有序半自动域 $(F; +, ·, <, =)$