31、见证查找的查询复杂度与原始蕴含的加密解释

见证查找的查询复杂度与原始蕴含的加密解释

1. 见证查找的查询复杂度相关引理证明

1.1 引理 1 的证明

为了应用姚氏极小极大原理，我们用特定矩阵 $M$ 来表示 $m(W, Q)$。设 $F$ 是函数集 ${\top, \bot}^m \to {0, 1}^n$，$A := Q^m \times F$ 代表确定性见证查找算法的集合，$W_0 := W \setminus {\varnothing}$。矩阵 $M$ 是一个 $A \times W_0$ 矩阵，定义如下：
[
M_{(Q_1,\ldots,Q_m;f),W} =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } f(Q_1(W), \ldots, Q_m(W)) \in W \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
姚氏极小极大原理表明，对于 $W_0$ 上的所有随机变量 $W$ 和 $A$ 上的 $(Q_1, \ldots, Q_m; f)$，有：
[
\min_{(Q_1,\ldots,Q_m;f) \in A} E[M_{(Q_1,\ldots,Q_m;f),W}] \leq \max_{W \in W_0} E[M_{(Q_1,\ldots,Q_m;f),W}]
]
由此可得，如果对于所有 $Q_1, \ldots, Q_m \in Q$ 和每个函数 $f : {\top, \bot}^m \to {0, 1}^n$，都有 $P[f(Q_1(W), \ldots, Q_m(W)) \in W] \leq \frac{1}{2}$，那么对于所有 $(Q_1,