4、可定义性格：起源、近期发展与未来方向

可定义性格：起源、近期发展与未来方向

1. 引言：基本定义

“如何通过已知事物来定义其他事物” 是一个极为重要的问题，甚至比 “什么是真理” 更具意义。在现代数学的背景下，我们来重新审视这个问题。

定义语言包含以下要素：
- 逻辑符号，如连接词、（自由）变量（$x_0, x_1, \cdots$）、量词和等号 $=$。
- 关系的名称（有时也包括对象和运算的名称），这些名称的集合称为签名，每个名称都有其参数数量（元数）。
- 公式。

签名 $\Sigma$ 的结构是一个三元组 $\langle D, \Sigma, Int \rangle$，其中 $D$ 是一个集合（本文中大多为可数无限集），称为结构的定义域，$Int$ 是一个解释，它将每个 $n$ 元关系名称映射到 $D$ 上的 $n$ 元关系，即 $D^n$ 的一个子集。

如果给定了签名 $\Sigma$ 的结构，那么该语言中的每个公式都能在 $D$ 上定义一个关系。最常见的语言使用对 $D$ 的量词，但有时我们也会考虑其他选项，如对 $D$ 的子集的量词（一元语言）、对 $D$ 的有限子集的量词（弱一元语言）或根本不使用量词（无量词语言）。

固定一个定义域 $D$ 和 $D$ 上的任意一组关系 $S$，我们可以取 $S$ 的任何有限子集，并为其元素命名，从而得到一个结构和对其签名元素的解释。构造语言中的任何公式都能在 $D$ 上定义一个关系，我们称以这种方式获得的 $D$ 上的任何关系在 $S$ 中（在 $D$ 上）是可定义的。

所有在 $S$ 中可定义的关系构成 $S$ 的闭包，任何闭关系集都称为（在 $D$ 上的）可定义性空间。任