5、线性时间序列建模：自协方差与Yule - Walker方程详解

线性时间序列建模：自协方差与Yule - Walker方程详解

在时间序列分析领域，线性时间序列建模是一项重要的技术，它能够帮助我们理解和预测时间序列数据的变化规律。本文将深入探讨自协方差函数以及Yule - Walker方程在单变量和多变量情况下的应用。

1. 自协方差函数

自协方差函数 $C(|m - l|)$ 描述了时间序列数据与其自身平移 $|m - l|$ 个点后的数据之间的相关性。当自协方差函数的值较大时，正相关性更强；而当自协方差函数的值较小时，负相关性更强。

通过将方程 (2.47) 两边同时除以 $T$ 并引入自协方差函数，我们可以得到方程 (2.49)：
[
\begin{align }
\frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T}\mathbf{x}(t)\mathbf{x}(t - m) &= \mathbf{A}(1)\frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T}\mathbf{x}(t - 1)\mathbf{x}(t - m)\
&+ \mathbf{A}(2)\frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T}\mathbf{x}(t - 2)\mathbf{x}(t - m)\
&+ \cdots + \mathbf{A}(L)\frac{1}{T}\sum_{t = 1}^{T}\mathbf{x}(t - L)\mathbf{x}(t - m)
\end{align }
]

将方程 (2.47) 的自协方差函数代入方程 (2.49)，我们得到方程 (2.50)：
[
\