23、对称化矩阵、vech 算子与复制矩阵相关知识解析

对称化矩阵、vech 算子与复制矩阵相关知识解析

1. 对称化矩阵（Symmetrizer Matrix）

1.1 对称化矩阵的基本性质

对称化矩阵 (N_n) 具有诸多重要性质，以下是几个关键性质的介绍：
- 表达式 ：(N_n = \frac{1}{2}(I_{n^2} + K_n))。这一表达式的推导基于 (N_n \text{vec} A = \text{vec} \frac{1}{2}(A + A’)) 对于任意 (n \times n) 矩阵 (A) 都成立。
- 幂等性与对称性 ：(N_n = N_n’ = N_n^2)。由于 (K_n) 是对称矩阵，所以 (N_n) 也是对称矩阵。并且 (N_n^2 = \frac{1}{4}(I_{n^2} + K_n)(I_{n^2} + K_n) = \frac{1}{4}(I_{n^2} + K_n + K_n + K_n^2) = \frac{1}{2}(I_{n^2} + K_n))，因为 (K_n^2 = I_{n^2})。
- 秩与迹 ：(\text{rk}(N_n) = \text{tr}(N_n) = \frac{1}{2}n(n + 1))。因为 (N_n) 是幂等矩阵，其秩等于迹。又因为 (\text{tr}(K_n) = n)，所以 (\text{tr}(N_n) = \frac{1}{2}(n^2 + \text{tr} K_n) = \frac{1}{2}(n^2 + n) = \frac{1}{2}n(n + 1))。

1.2 对称化矩阵与斜对称化矩阵