10、方程求根方法的原理与应用

方程求根方法的原理与应用

1. 方程根的初步判断与求解示例

在求解方程 (f(x) = 0) 的根时，我们可以先通过观察函数图像来初步确定根的大致范围。例如，对于一个函数，从其图像可以明显看出 (f(x) = 0) 的根位于 (x = 0) 和 (x = 1) 之间。此时，我们可以使用以下 Python 程序来提取这个根：

#!/usr/bin/python
## example4_5
from ridder import *
def f(x):
    a = (x - 0.3)**2 + 0.01
    b = (x - 0.8)**2 + 0.04
    return 1.0/a - 1.0/b
print("root =",ridder(f,0.0,1.0))
input("Press return to exit")

运行该程序后，得到的结果是 root = 0.5800000000000001 。

2. 牛顿 - 拉夫逊方法

牛顿 - 拉夫逊方法是一种非常著名的求根方法，它具有简单且快速的优点。不过，该方法需要同时使用函数 (f(x)) 及其导数 (f’(x))，因此仅适用于能够轻松计算 (f’(x)) 的问题。

2.1 牛顿 - 拉夫逊公式的推导

牛顿 - 拉夫逊公式可以从函数 (f(x)) 在 (x) 处的泰勒级数展开式推导得出：
[f(x_{i + 1}) = f(x_i) + f’(x_i)(x_{i + 1} - x_i) + O((x_{i + 1