9、数值计算中的曲线拟合与方程求根方法

数值计算中的曲线拟合与方程求根方法

1. 最小二乘法拟合

最小二乘法拟合是一种常用的曲线拟合方法，其目标是找到一个函数，使得该函数与给定数据点之间的误差平方和最小。在某些情况下，通过计算不同多项式的标准偏差，可以选择标准偏差最小的多项式作为“最佳”拟合函数。但需要注意的是，标准偏差并非衡量拟合优度的可靠指标，在做出最终决定之前，绘制数据点和拟合函数的图形是很有必要的。

以下是一些相关的练习题及解答思路：
1. 证明最小二乘法拟合的直线过点((\overline{x}, \overline{y})) ：这需要运用最小二乘法的原理和直线方程的性质进行推导。
2. 线性回归求拟合直线及标准偏差 ：对于给定的数据点((x_i, y_i))，可以使用线性回归的公式来确定直线(y = a + bx)的系数(a)和(b)，然后计算标准偏差。
3. 估算铝棒的弹性模量 ：通过线性回归分析拉伸试验中应力和应变的数据，根据弹性模量的定义（弹性模量 = 应力 / 应变）来估算铝棒的弹性模量。
4. 考虑权重的线性回归 ：在某些情况下，不同的数据点可能具有不同的权重。例如，当某个试验的结果可靠性较低时，可以赋予其较小的权重。
5. 拟合直线并确定年平均增加量 ：对于给定的时间序列数据，如大气(CO_2)浓度数据，可以拟合一条直线，并通过直线的斜率确定浓度的年平均增加量。
6. 拟合直线并计算标准偏差 ：对于汽车的质量和平均油耗数据，可以拟合