5、对称与带状系数矩阵及 pivoting 方法详解

对称与带状系数矩阵及 pivoting 方法详解

1. 对称与带状系数矩阵简介

在工程问题中，常常会遇到系数矩阵元素大部分为零的情况，即稀疏矩阵。若所有非零项都集中在主对角线附近，这样的矩阵被称为带状矩阵。例如：
[
A =
\begin{bmatrix}
X & X & 0 & 0 & 0 \
X & X & X & 0 & 0 \
0 & X & X & X & 0 \
0 & 0 & X & X & X \
0 & 0 & 0 & X & X
\end{bmatrix}
]
这里的 (X) 表示非零元素（有些 (X) 可能为零），该矩阵带宽为 3，是三对角矩阵。

若将带状矩阵分解为 (A = LU) 的形式，(L) 和 (U) 会保留 (A) 的带状结构。例如上述矩阵分解后：
[
L =
\begin{bmatrix}
X & 0 & 0 & 0 & 0 \
X & X & 0 & 0 & 0 \
0 & X & X & 0 & 0 \
0 & 0 & X & X & 0 \
0 & 0 & 0 & X & X
\end{bmatrix}
]
[
U =