4、线性代数方程组的求解方法

线性代数方程组的求解方法

在解决线性代数方程组的问题时，我们常常会用到各种方法。下面将详细介绍一些常见的方法，包括它们的原理、算法以及实际应用。

1. 线性代数方程组求解结果分析

在求解线性代数方程组 $Ax = b$ 时，我们可以得到一组解以及行列式的值。例如，有如下结果：

x =
[
416.66666667
-3125.00000004
9250.00000012 -13500.00000017
9709.33333345
-2751.00000003]
det = -1.13246207999e-006
Check result: [a]{x} - b =
[0.00000000e+00
3.63797881e-12
0.00000000e+00
1.45519152e-11
0.00000000e+00
5.82076609e-11]

由于行列式的值相对于矩阵 $A$ 的元素来说非常小，我们可以预期会存在一定的舍入误差。通过对 $x$ 的检查，我们推测精确解可能是：
$x = \begin{bmatrix} \frac{1250}{3} \ -3125 \ 9250 \ -13500 \ \frac{29128}{3} \ -2751 \end{bmatrix}^T$
在这种情况下，数值解的精度大约为 10 位小数。另一种评估解的准确性的方法是计算 $Ax - b$，其结果应该接近 0。从输出结果可以看出，解的精度至少达到了 10 位小数。

2. LU 分解方法

任何方阵 $A$ 都可以表示为一个下三角