[USACO17FEB]Why Did the Cow Cross the Road II P

最新推荐文章于 2024-10-30 08:37:40 发布

FuTaimeng

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分类专栏： < 动态规划 > 树状数组

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树状数组

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本文介绍了USACO17FEB比赛中的Why Did the Cow Cross the Road II P问题的解决方案。通过将最长公共子序列的动态规划方程转化为树状数组的特殊更新方式，优化了状态转移，减少了无效操作。通过一行一行地处理状态，并利用树状数组（BIT）维护前缀最小值，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[USACO17FEB]Why Did the Cow Cross the Road II P

树状数组·特殊的Dp更新方式

题解：

类似最长公共子序列的方程：
$f[i][j]=max( f[i-1][j], f[i][j-1] )$
$f[i][j]=max( f[i][j], f[i-1][j-1]+1 )$ 当i、j可以匹配

我们发现+1的位置很少，想办法只处理这些有贡献的。
也就是要快速推知f[i-1][j-1]。

我们把转移等价为：
$f[i-1][j]、f[i-1][j-1]+x（x=0 or 1）、min{f[i][k]}（k<j）$
我们把状态压掉第一维变成f[j]，然后一行一行的来考虑。
当推下一行的时候，f[]可以直接作为下一行的初始值，这相当于对每个点都做了转移1。
转移3相当于一个前缀最小值，直接用BIT维护f[]，用的时候直接查而不是一个一个推。
转移2个数很少，因此先把所有要走转移2的f[j-1]用bit查出来（注意这时bit中还是上一行的状态，满足从f[i-1][j-1]转移），然后再+1更新bit中的f[j]即可（这时bit中才是这一行的状态）。
根据前文“无为而治”转移1，没有+1的状态不用动它，随着i的增加它们相当于在向下传递。

Code：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 200005;

int n,a[N],b[N],p[N],f[N];

struct BIT{
    int c[N];
    void add(int x,int d){ while(x<N){ c[x]=max(c[x],d); x+=x&-x; } }
    int qmx(int x){ int ans=0; while(x){ ans=max(ans,c[x]); x-=x&-x; } return ans; }
} bit;

int main(){
//     freopen("a.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",b+i), p[b[i]]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=max(1,a[i]-4);j<=min(n,a[i]+4);j++) f[p[j]]=bit.qmx(p[j]-1);
        for(int j=max(1,a[i]-4);j<=min(n,a[i]+4);j++) bit.add(p[j],f[p[j]]+1);
    }
    printf("%d\n",bit.qmx(n));
}