学习笔记：旋转treap

前言

更好的阅读体验。
无旋 treap。
默认读者会 BST 的基本操作、堆和旋转。
本文旋转部分和上面那篇文章的相同。
代码中是小根堆。

思想

treap 既是一棵二叉查找树（tree），也是一个二叉堆（heap）。
但是如果这两个数据结构用同一个权值维护，那么这两种数据结构是矛盾的。
所以 treap 用了一个很巧妙的方式：给每个节点附加一个随机的优先级，让权值满足二叉查找树的结构，让优先级满足二叉堆的结构。
这个就是一棵 treap（黑色是权值，蓝色是随机的优先级）：

由于优先级只能随机赋予，堆不一定是一颗完全二叉树，，所以 treap 是弱平衡（近似平衡）的。

旋转

在不改变中序遍历的情况下，旋转可以改变树的结构。
在 treap 中，我们用旋转来满足二叉堆，控制树高。
图中从左到右是右旋，从右到左是左旋。

我们来模拟一下右旋的过程（左旋同理）。

在实现中，我会把左右旋放在一起写。

void rotate(int&now, int dir){  
    int t = d[now].ch[dir];  
    d[now].ch[dir] = d[t].ch[!dir];  
    d[t].ch[!dir] = now;  
    pushup(now), pushup(t), now = t;  //now 是 t 的儿子了，先更新 now 再更新 t
}  

这里的 rotate(x, 0) 表示将 $l{s}_x$ 提到 $x$ 的高度，即右旋。
这里的 rotate(x, 1) 表示将 $r{s}_x$ 提到 $x$ 的高度，即左旋。

基础操作

节点变化

我们要在定义的时候添加一个优先级，然后在新建时给他赋随机值。

//需要头文件 <random>，<chrono>    
std::mt19937 rd(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());  
struct node{  
    int ch[2], size, val, rank;  
}d[N];  
int newnode(int x){  
    int w = ++tot;  
    d[w].val = x, ls(w) = rs(w) = 0, d[w].size = 1, d[w].rank = rd();  
    return w;  
}  

插入

只有在插入的那个子树的优先级可能变化。
如果优先级比当前节点小，那么我们把它旋转上来。
记得更新节点。

void insert(int&now, int val){  
    if(!now)return void(now = newnode(val));  
    int dir = d[now].val < val;  
    insert(d[now].ch[dir], val);  
    if(d[d[now].ch[dir]].rank < d[now].rank)rotate(now, dir);  
    if(now)pushup(now);  
}  

删除

这里我们需要改变一下目标节点有两个儿子的时候的方法。
我们比较两个儿子的优先级，把优先级小的旋转上来。
那么目标节点就到当前节点的另一侧，继续删除即可。
返回时要更新节点。

void del(int&now, int val){  
    if(!now)return;  
    if(d[now].val == val){  
        if(ls(now) && rs(now)){  
            int z = d[rs(now)].rank < d[ls(now)].rank;//哪边的优先级小  
            rotate(now, z), del(d[now].ch[!z], val);//删除另一侧  
        }  
        else now = ls(now) ? ls(now) : rs(now);  
    }  
    else if(d[now].val < val)del(rs(now), val);  
    else del(ls(now), val);  
    if(now)pushup(now);//牢记  
}  

代码

P3369。

可持久化

不知道什么是可持久化的戳这。
只需要在所有要修改节点的地方新建节点，有注释的是新加句子。
完整代码。
修改片段：

void copynode(int &i){if(i)d[++tot] = d[i], i = tot;}//************  
void rotate(int&now, int dir){  
		int t = d[now].ch[dir];  
		copynode(t);//**************  now节点已经新建过了
        d[now].ch[dir] = d[t].ch[!dir];  
        d[t].ch[!dir] = now;  
        pushup(now), pushup(t), now = t;  
	}  
	void insert(int&now, int val){  
		copynode(now);//****************  
		if(!now)return void(now = newnode(val));  
		int dir = d[now].val < val;  
		insert(d[now].ch[dir], val);  
		if(d[d[now].ch[dir]].rank < d[now].rank)rotate(now, dir);  
		if(now)pushup(now);  
	}  
	void del(int&now, int val){  
		copynode(now);//****************  
		if(!now)return;  
		if(d[now].val == val){  
			if(ls(now) && rs(now)){  
				int z = d[rs(now)].rank > d[ls(now)].rank;  
				rotate(now, z), del(d[now].ch[!z], val);  
			}  
			else now = ls(now) ? ls(now) : rs(now);  
		}  
		else if(d[now].val < val)del(rs(now), val);  
		else del(ls(now), val);  
		if(now)pushup(now);  
	}