2、二维光束整形与纳米光子学在信息系统中的应用

二维光束整形与纳米光子学在信息系统中的应用

1. 二维光束整形

1.1 SBF 函数逼近

在二维光束整形中，我们可以使用移位基函数（SBF）来对位置位移 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 进行建模。SBF 方法受径向基函数插值的启发，但有两个主要区别：
- 它不是插值方案，而是最小二乘逼近，这能减少模型中的测量误差。
- 不要求基函数具有旋转对称性，其函数范围可根据待建模函数的平滑程度进行调整。

我们用以下公式对标量函数 $S$ 进行建模：
$S(x, y) = \sum_{k = 0}^{B - 1} c_k \varphi\left(\frac{x - x_k}{\Delta x}, \frac{y - y_k}{\Delta y}\right)$

通常，我们选择洛伦兹振幅作为基函数：
$\varphi(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2 + y^2}}$

为了找到能最佳逼近给定函数 $F$ 的系数向量 $c$，我们需要确定代价函数的最小值：
$\hat{c} = \sum_{k = 0}^{B - 1} [F(x_k, y_k) - S(x_k, y_k)]^2$

这会得到一组线性方程，可以用标准矩阵方法求解。确定最优系数 $c_k$ 后，就能立即从上述公式确定标量函数 $S$。

1.2 强度映射的传输方程

根据局部能量守恒定律 $I_0 dA_0 = I_1 dA_1$，强度变换（或光束整形）由映射的雅可比行列式控制：
$I_0(x, y) = I_1(X, Y) \