16、麦克利思公钥密码系统中的极性码密码分析

麦克利思公钥密码系统中的极性码密码分析

1. 极性码等价问题的挑战

在处理极性码时，等价问题面临着巨大挑战。标准的支持分裂算法由于极性码的壳（hull）规模过大，复杂度极高，难以应用于解决该问题。此外，极性码具有庞大的置换群，这进一步增加了问题的复杂性。

为了解决码等价问题，支持分裂算法会使用缩短码和删信码等基本操作。对于给定的码 $C$ 和子集 $J \subseteq {0, \ldots, n - 1}$，删信码 $P_J(C)$ 和缩短码 $S_J(C)$ 定义如下：
- $P_J(C) \stackrel{\text{def}}{=} { (c_i) {i \notin J} | c \in C }$
- $S_J(C) \stackrel{\text{def}}{=} { (c_i) {i \notin J} | \exists c = (c_i)_i \in C \text{ 使得 } \forall i \in J, c_i = 0 }$

当 $J = {j}$ 时，通常使用 $P_j(C)$ 和 $S_j(C)$ 表示。通过在码 $C$ 的位置 $i$ 和 $C^{\pi}$ 的位置 $j$ 进行删信操作，如果能快速判断两个码是否等价，就可以利用此方法检查删信后的码是否等价。在支持分裂算法中，通过计算壳的重量枚举器（它在置换下显然是不变的）来实现这一判断。若两个删信码不等价，则可以确定位置 $i$ 和 $j$ 不能通过置换 $\pi$ 相互对应。同样的思路也适用于缩短码。

2. 递减单项式码

为了深入了解极性码的结构，引入了递减单项式码这一全新的代数框架。递减单项式码是一类特殊